勾股定理的5种证明方法

1、做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

从下图可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a的平方加b的平方，加4乘以二分之一ab等于c的平方，加4乘以二分之一ab，整理得a的平方加b的平方等于c的平方。

2、以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上。

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90?,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90?.

∴ ∠HEF = 180?―90?= 90?.

∴四边形EFGH是一个边长为c的

正方形. 它的面积等于c2.

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,

∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90?,

∴ ∠EHA + ∠GHD = 90?.

又∵ ∠GHE = 90?,

∴ ∠DHA = 90?+ 90?= 180?.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于a+b的平方。

∴a加b的平方等于4乘二分之一ab，加上c的平方。 .

∴a的平方加b的平方等于c的平方。

3、以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab。把这四个直角三角形拼成如图所示形状。

∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,

∴ ∠HDA = ∠EAB.

∵ ∠HAD + ∠HAD = 90?，

∴ ∠EAB + ∠HAD = 90?，

∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.

∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,

∠HEF = 90?.

∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于b减a的平方。

∴ 4乘二分之一ab加上，b减a的平方等于c的平方。

∴ a^2+b^2=c^2(说明a^2为a的平方)。

4、以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于二分之一ab。把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.

∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,

∴ ∠ADE = ∠BEC.

∵ ∠AED + ∠ADE = 90?,

∴ ∠AED + ∠BEC = 90?.

∴ ∠DEC = 180?―90?= 90?.

∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，

它的面积等于二分之一c^2.

又∵ ∠DAE = 90?, ∠EBC = 90?,

∴ AD∥BC.

∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b)^2.

∴1/2(a+b)^2=2x1/2ab+1/2c^2. .

∴a^2+b^2=c^2.

5、做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180?―90?= 90?.

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90?.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90?.

即 ∠CBD= 90?.

又∵ ∠BDE = 90?，∠BCP = 90?，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S，则

a^2+b^2=S+2 x 1/2xab

c^2=S+2x1/2 x ab

∴ a^2+b^2=c^2.

参考资料：