求详解一下狄利克雷函数和魏尔斯特拉斯函数。

你好！

一、

实数域上的狄利克雷（Dirichlet）函数定义为分段函数：

D(x) = 0 (x是无理数)

1 (x是有理数)

1、定义域 R ，值域 {0,1}

2、奇偶性

∵ x 和 -x 同为有理数或同为无理数

∴ D(-x) = D(x)

又定义域是 R

故 为偶函数

3、周期性

对于无理数T

当x为有理数时，x+T是无理数，D(x+T) ≠ D(x)

∴无理数不是周期

对于任意非零有理数 T，

若x是有理数，则x+T也是有理数，D(x+T) = D(x) = 1

若x是无理数，则x+T也是无理数，D(x+T)= D(x) = 0

故 周期为任意非零有理数。

4、连续性

连续性是高数里的概念，通俗的说就是函数的每个点是连在一起的。

例如 y=x在R上是连续的，y=1/x 在x=0处不连续，但在[1,2] 这样的区间是连续的。

狄利克雷函数在每一处都是不连续的。

因此我们无法画出它的图像。

5、可导性

通俗的说，可导就是在某一点是平滑的，例如y=x?图像上的点，都是可导的

y=|x| 在 x=0处是不可导的，在其他点是可导的。

狄利克雷函数处处不可导。

二、魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数。

将魏尔斯特拉斯函数在任一点放大，所得到的局部图都和整体图形相似。因此，无论如何放大，函数图像都不会显得更加光滑，也不存在单调的区间。

你可以想象一下，函数的每一个点都是像y=|x| 在 x=0的那个点。