二次函数的概念及像和性质

二次函数（quadratic function）是一个二次多项式（或单项式），它的基本表示形式为y=ax?+bx+c(a≠0)。二次函数最高次必须为二次， 二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。

函数性质

1.二次函数的图像是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形。对称轴为直线。[3]对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P。当时，P在y轴上；当时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小；|a|越小，则抛物线的开口越大。

4.一次项系数b和二次项系数a***同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。（可巧记为：左同右异）

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0, c）

6.抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点。时，抛物线与x轴有1个交点。当时，抛物线与x轴没有交点。

7.当时，函数在处取得最小值；在上是减函数，在上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是。

当时，函数在处取得最大值；在上是增函数，在上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是。

当时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax?+c(a≠0)。

8.定义域：R

值域：当a>0时，值域是；当a<0时，值域是。

奇偶性：当b=0时，此函数是偶函数；当b不等于0时，此函数是非奇非偶函数。

周期性：无

解析式：

①一般式：

⑴a≠0

⑵若a>0，则抛物线开口朝上；若a<0，则抛物线开口朝下；

⑶顶点：；

⑷

若Δ>0，则函数图像与x轴交于两点：

和；

若Δ=0，则函数图像与x轴交于一点：

若Δ<0，函数图像与x轴无公***点；

②顶点式：此时顶点为（h,k)

时，对应顶点为，其中,；

③交点式：

函数图像与x轴交于和两点。

表达式

顶点式

y=a(x-h)?+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)[4]，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax?的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

解：设y=a(x-1)?+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)?+2。

注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。[2]

具体可分为下面几种情况：

当h>0时，y=a(x-h)?的图像可由抛物线y=ax?向右平行移动h个单位得到；

当h<0时，y=a(x-h)?的图像可由抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位得到；

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)?+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象。