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解：（1）（0，－3），b＝－，c＝－3．

（2）由（1），得y＝x2－x－3，它与x轴交于A，B两点，得B（4，0）．

∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．

由题意，得△BHP∽△BOC，

∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，

∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，

∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．

∴OH＝OB－HB＝4－4t．

由y＝x－3与x轴交于点Q，得Q（4t，0）．

∴OQ＝4t．

①当H在Q、B之间时，

QH＝OH－OQ

＝（4－4t）－4t＝4－8t．

②当H在O、Q之间时，

QH＝OQ－OH

＝4t－（4－4t）＝8t－4．

综合①，②得QH＝｜4－8t｜；

（3）存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．

①当H在Q、B之间时，QH＝4－8t，

若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，

∴t＝．

若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，

即t2＋2t－1＝0．

∴t1＝－1，t2＝－－1（舍去）．

②当H在O、Q之间时，QH＝8t－4．

若△QHP∽△COQ，则QH∶CO＝HP∶OQ，得＝，

∴t＝．

若△PHQ∽△COQ，则PH∶CO＝HQ∶OQ，得＝，

即t2－2t＋1＝0．

∴t1＝t2＝1（舍去）．

综上所述，存在的值，t1＝－1，t2＝，t3＝．