圆周角定理及其推论

圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，这一定理叫作圆周角定理。

一、定理内容：

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。

二、定理推论：

1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

2、半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

3、圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

圆周角定理命题证明：

命题1：在圆中作弦MN，于直线MN同侧取点A、B、C，使点A、B、C分别在圆内、上、外，将点A、B、C分别与点M、N连结，则有∠A>∠B>∠C。

命题2：顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半；顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半。

证明：

命题2的证明如图，过C作CE//AB，交圆于E，

则有∠P=∠DCE，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等），

而∠DCE的度数等于弧DE的一半，弧DE=弧BD－弧BE=弧BD－弧AC，

所以∠DCE的度数等于“弧BD－弧AC”的一半，

即“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半” 另外也可以连接BC，则∠P=∠BCD－∠B，

∠BCD的度数等于弧BD的度数的一半，

∠B的度数等于弧AC的度数的一半，

同样得“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”。

圆内角的证明完全类似：

过C作CE//AB，交圆于E，

则有∠APC=∠C，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）。

而∠C的度数等于弧DE的一半，

弧DE=弧BD+弧BE=弧BD+弧AC。

所以∠APC的度数等于“弧BD+弧AC”的一半。

即“顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数和的一半”。

另外也可以连接BC进行证明。