高等数学求不定积分，怎么做？要详细答案最好手写

一、原函数

如果在区间上， ，则 称为 的一个原函数.

注如果一个函数存在原函数，那么它有无穷多个原函数，而且其中任何两个原函数之间只相差一个常数．对于不同描述形式的原函数，相差的常数可以通过取特定变量值来得到. 比如

, 都是 的原函数，则

令 ，得 ，即

二、原函数存在定理

原函数存在定理：

(1)若函数 在区间 上连续，则 在区间 上存在原函数.

(2)如果在区间 上函数 有第一类间断点和第二类无穷间断点，则函数在该区间 上没有原函数；如果函数在区间 上仅仅具有第二类振荡间断点，则有可能存在有原函数.

例1包含振荡间断点的区间内定义的函数可能存在有原函数. 如

为 的振荡间断点， 在全体实数范围内有原函数 .

例2包含第一类间断点的区间内函数不存在原函数.

在 点出分别为函数 的第一类跳跃间断点和可去间断点，它们在区间 上都不存在原函数. 对于 ，在 处对应着分段函数的尖点位置；对于 ，假设有原函数 ，则在 时，有 ，由可导必定连续，则 ，所以在 内 ，从而有 ，从而与所设 为 的原函数矛盾.

例3包含第二类无穷间断点的区间内函数不存在原函数. 如

在区间 上不存在原函数，其中 为函数 的无穷间断点. 虽然通常记

但这仅仅是一种形式上的记法，并不代表 在区间 上存在原函数，因为对数函数 在 处根本没有定义，当然也就不可能存在导数.

三、不定积分

函数 在区间 上所有原函数的一般表达式称为 在 上的不定积分，并且有

其中

称为积分常数或任意常数

是 的在区间 上的任意一个原函数

称为被积函数，

称为被积表达式，计算中就为原函数的微分，即

称为积分变量，即仅仅对 变量求导数或微分，其余符号对于积分而言为常数．

注不定积分是所有原函数的集合，结果一定不能缺少 ！没有 则仅仅是原函数集合中的一个元素.

四、不定积分基本性质

1、求导、微分与积分的互逆运算

注不定积分与求导、微分互为逆运算，交替使用相互“抵消”. 最后的一个运算决定结果形式，最后运算为不定积分，则结果不能忽略任意常数 ；为微分运算，则结果不能缺少 .

2、不定积分线性运算性质

如果 与 的原函数存在，则

其中 和 为常数．

五、基本不定积分公式

由基本初等函数的导数基本公式，逆向推导有基本初等函数的不定积分基本计算公式，它们是求不定积分的基础，必须熟记和掌握！具体基本积分表参见后面的课件或教材！

注1基本不定积分基本公式表中的公式中的d就为微分运算符. 其中的积分变量符号x可以直接替换为任意可导函数表达式.不过记得一定是等式两端所有x都换成相同的表达式. 如

由此可知 是 的一个原函数. 这个结果的应用直接得到后面不定积分的“凑微分”法或第一类换元法.

注2对于不定积分结果在计算出来以后，一定要通过求导运算验证其结果是否就为被积函数. 只要求导结果为被积函数，则不管结果的描述形式如何都为正确结果.

注3有理函数的积分一般拆分成部分分式计算积分，有理函数的部分分式分解参见推荐阅读列表中的“

关于不定积分、定积分与多元函数积分计算正确性的验证和思路、方法的有效性的验证与确认，可以参见如下的推文给出的方法：

高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”，参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程，具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单高数线代下在的在线课堂专题讲座选项了解！

参考课件

注课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，或者通过公众号底部菜单高数线代下的高等数学概率其他选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表！

高等数学课程完整推送内容参见公众号底部菜单高数线代下的高等数学概率其他选项，在打开的导航列表中通过“高等数学”面板查看各章节推送推文列表，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题！

●历届考研真题及详细参考解答浏览考研帮助菜单中考研指南真题练习选项

●全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部竞赛实验下竞赛试题与通知选项

●全国赛初赛历届真题解析教学视频请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单高数线代下在的在线课堂专题讲座选项了解！