已知线性方程组{x1+x2+x3-3x4=3;2x1+x2-5x4=4;3x1+2x2+x3-8x4=7}用导出组的基础解系表示的通解？

解：已知线性方程组的矩阵形式为：

$$\begin{bmatrix}1&1&1&-3\2&1&0&-5\3&2&1&-8\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\4\7\end{bmatrix}$$

对此方程组进行高斯消元，可以得到如下的初等矩阵：

$$\begin{bmatrix}1&1&1&-3\0&-1&-1&2\0&0&2&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\-2\-1\end{bmatrix}$$

令 $x_3$ 为 $\lambda$，由第三个方程可得：

$$2x_3-x_4=-1 \Rightarrow x_4=-2x_3-1$$

令 $x_4=-2x_3-1$，代入第二个方程可得：

$$x_2=x_3+1$$

故线性方程组的一组特解为 $(x_1,x_2,x_3,x_4)=(3,4,3,-7)$。

因此，线性方程组的通解为：

$$\begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\x_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\4\3\-7\end{bmatrix}+\lambda\begin{bmatrix}1\1\0\-2\end{bmatrix}$$

即：

$$\begin{cases}x_1=3+\lambda\x_2=4+\lambda\x_3=3\x_4=-7-2\lambda\end{cases}$$

线性方程组的通解用导出组的基础解系表示为：

$$x=\begin{bmatrix}3+\lambda\4+\lambda\3\-7-2\lambda\end{bmatrix}$$

可以看出，通解中的 $\lambda$ 为自变量。