三垂线定理是什么

三垂线定理：平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

三垂线定理是立体几何的重要定理之一，平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也就和这条斜线垂直，三垂线定理通过平面斜线的射影与平面内一直线的垂直关系来判定斜线与平面内一条直线垂直，由于定理中涉及三条与平面内已知直线有垂直关系的直线。

定理证明

线面垂直证明

已知：PO在α上的射影OA垂直于a。求证：OP⊥a。

证明：过P做PA垂直于α

∵PA⊥α且a?α

∴a⊥PA

又a⊥OA

OA∩PA=A

∴a⊥平面POA

∴a⊥OP

用向量证明

1、已知：PO，PA分别是平面α的垂线，斜线，OA是PO在α内的射影，向量b包含于α，且向量b垂直于OA，求证：向量b垂直于PA

证明：∵PO垂直于α，∴PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=（向量PO+向量OA）

∴向量PA·向量b=（向量PO+向量OA）·向量b=（向量PO·向量b）+（向量OA·向量b）=0，

∴PA⊥向量b。

2、已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，∠AOB=∠BOC=∠COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。

解：∵向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，

又∵AB=BC=CA，

∴OA与平面OBC所成的角是30°。