在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=16,点P(1,2),M,N为圆O上不同的两点,
∵PM ?PN =0,
∴PM ⊥PN .
∵PQ =PM +PN ,
则|PQ |=|MN |.
当四边形PMQN为正方形且MN⊥OP时,|MN|取得最小值.
设kPM=k,∵∠QPM=45°,
∴2?k /1+2k =1,解得k=1 / 3 .
∴直线PM的方程为:y?2=1 /3 (x?1),
化为x-3y+5=0,
∴
x?3y+5=0
x2+y2=16 ,化为10y2-30y+9=0,
解得y=15+3
15
10
(y=
15?3
15
10
舍去).
∴x=3y-5=
9
15
510
.
∴M(
9
5
510
15+3
15
10
).
∴|
PQ
|=|
MN
|=
2
|
PM
|=
2
(
9
5
510
1)2+(15?3
15
10
2)2=
32?6
15
=3
3
5
.
故答案为:3根号3 -根号5 .
/math2/ques/detail/f0f85f9e-0953-4c36-b9f7-e06417d8a73c