在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=16,点P(1,2),M,N为圆O上不同的两点,

∵PM ?PN =0,

∴PM ⊥PN .

∵PQ =PM +PN ,

则|PQ |=|MN |.

当四边形PMQN为正方形且MN⊥OP时,|MN|取得最小值.

设kPM=k,∵∠QPM=45°,

∴2?k /1+2k =1,解得k=1 / 3 .

∴直线PM的方程为:y?2=1 /3 (x?1),

化为x-3y+5=0,

x?3y+5=0

x2+y2=16 ,化为10y2-30y+9=0,

解得y=15+3

15

10

(y=

15?3

15

10

舍去).

∴x=3y-5=

9

15

5

10

∴M(

9

5

5

10

15+3

15

10

).

∴|

PQ

|=|

MN

|=

2

|

PM

|=

2

(

9

5

5

10

1)2+(

15?3

15

10

2)2

=

32?6

15

=3

3

5

故答案为:3根号3 -根号5 .

/math2/ques/detail/f0f85f9e-0953-4c36-b9f7-e06417d8a73c