在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（1，2），M，N为圆O上不同的两点，
∵PM ?PN ＝0，
∴PM ⊥PN ．
∵PQ ＝PM +PN ，
则|PQ |=|MN |．
当四边形PMQN为正方形且MN⊥OP时，|MN|取得最小值．
设kPM=k，∵∠QPM=45°，
∴2?k /1+2k ＝1，解得k=1 / 3 ．
∴直线PM的方程为：y?2＝1 /3 (x?1)，
化为x-3y+5=0，
∴
x?3y+5＝0
x2+y2＝16 ，化为10y2-30y+9=0，
解得y＝15+3
15
10
(y＝
15?3
15
10
舍去)．
∴x=3y-5=
9
15
510
．
∴M(
9
5
510
15+3
15
10
)．
∴|
PQ
|＝|
MN
|＝
2
|
PM
|=
2
(
9
5
510
1)2+(15?3
15
10
2)2=
32?6
15
=3
3
5
．
故答案为：3根号3 -根号5 ．
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