二项式定理例题_二项式定理教学案设计

《二项式定理》教案设计

教材：人教A版选修2-3第一章第三节

一、教学目标

1.知识与技能：

(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.

(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.

2.过程与方法：

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．

3. 情感、态度与价值观：

培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．

二、教学重点、难点

重点：用计数原理分析(a?b)3的展开式，得到二项式定理．

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.

三、教学过程

（一）提出问题，引入课题

引入：二项式定理研究的是(a?b)n的展开式，如：(a?b)2?a2?2ab?b2，

(a?b)3? (a?b)4? (a?b)100? 那么(a?b)n的展开式是什么？

设计意图把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.

（二）引导探究，发现规律

1、多项式乘法的再认识．

问题1. (a1?a2)(b1?b2)的展开式是什么？展开式有几项？每一项是怎样构成的？

问题2. (a1?a2)(b1?b2)(c1?c2)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

设计意图引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后续学习作准备. 2、(a?b)3展开式的再认识

探究1：不运算(a?b)3，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：

(1) 合并同类项之前展开式有多少项？

(2) 展开式中有哪些不同的项？

(3) 各项的系数为多少？

(4) 从上述三个问题，你能否得出(a?b)3的展开式？

探究2：仿照上述过程，请你推导(a?b)4的展开式.

设计意图通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对(a?b)3的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导(a?b)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

(三) 形成定理，说理证明

探究3：仿照上述过程，请你推导(a?b)n的展开式．

0n1n?1kn?kknn(a?b)n?Cna?CnabCnabCnb(n?N*)——— 二项式定理

证明：(a?b)是n个(a?b)相乘，每个(a?b)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理

n?kkbk(k?0,1,?n)的形式，对于每一项ab，

它是由k个(a?b)选了b，n－k个(a?b)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(a?b)中取k个n可知展开式***有2项（包括同类项），其中每一项都是ann?k

kb的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

设计意图通过仿照(a?b)3、(a?b)4展开式的探究方法，由学生类比得出(a?b)n的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．

(四) 熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）

1. 项数：***有n?1项.

2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．

各项的次数都等于n．

012knk3. 二项式系数: 依次为Cn，这里Cn,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn(k?0,1,,n)称为二项式系数.

kn?kk4. 二项展开式的通项: 式中的Cnab叫做二项展开式的通项. 用Tk?1表示.

kn?kk即通项为展开式的第k?1项: Tk?1=Cnab

变一变 （1）(a?b)n （2）(1?x)n

例. 求(2x?16)的展开式. x

思考1：展开式的第3项的系数是多少？

思考2：展开式的第3项的二项式系数是多少？

思考3：你能否直接求出展开式的第3项？

设计意图熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．

(五) 课堂小结，课后作业

小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）

0n1n?1kn?kknn1. 公式： (a?b)n?Cna?CnabCnabCnb(n?N*)

2. 思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程.

作业

巩固型作业：课本36页习题1.3 A组 1、2、3

012kn思维拓展型作业：二项式系数Cn有何性质． ,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn