什么是傅里叶变换？

傅里叶变换，最牛的算法之一，广泛应用于物理学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域。有人说，看懂了傅里叶，也就看懂了世界，能改变一个人对世界的认知。

这里我们不深究其中，无数学公式推导，仅为大众简单科普一下傅里叶变换是什么。傅里叶变换最精彩之处就是能够将信号在时域与频域之间进行变换，因此我们先解释一下什么是时域和频域。

①时域

时域（Time domain）是描述数学函数或物理信号对时间的关系，例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。比如下面这个时域图，1秒内反复振动了5次，频率是5，最大振幅是1，整图描述的是每一个时刻的信号值：

②频域

频域（frequency domain）是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系，频域图显示了在一个频率范围内每个给定频带内的信号量。上面的时域图用频域表示，则是下图。横坐标表示频率，纵坐标表示振幅。这个图表示：这里面有一段波，频率为5，振幅为1。

另外，频域表示还可以包括每个正弦曲线的相位，以便能够重新组合频率分量以恢复原始时间信号。不同相位决定了波的位置，从频域信息复原到时域信息，相位非常重要。

红色和蓝色正弦波具有θ的相位差

傅里叶变换

先亮一下通用傅里叶公式。（“公式恐惧症”请闭眼滑过...)

傅里叶变换，从定义上讲，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数或者它们的积分的线性组合。简单来说，它贯穿了时域与频域，能够将任何形式的周期性信号无限拆解，分为多个有规律的简单正弦波信号。（正弦波是一个圆周运动在一条直线上的投影，所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆。）

傅里叶级数方波圆动画

例如下面这种也是有规律的波形，可以拆解为若干组波的叠加。

也就是说，傅里叶变换能够将一段复杂的波，分解成多段规律的、单纯波的集合。然后，对这些规律的波从频域进行描述，就有了整段波的谱线图。

如下图，时域观测的方波信号是若干个正弦信号的叠加，当以时间为横轴时可以看到这些信号累加后得到的时域图像，而换一个角度，当以频率为坐标时，则得到的是一个个不同频率的脉冲。信号从时域到频域的转换，则是傅里叶正变换，从频率到时域的表示则是傅里叶逆变换。因此，时域和频域是以完全不同的角度表示相同的信息。（突然想吟诗一首：横看成岭侧成峰，远近高低各不同...）

很多在时域看似不可能做到的操作，在频域却很容易，这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为滤波，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。例如在图像处理中，低频项决定了图像的整体形状，高频项则提供了细节，通过控制滤波器可以过滤掉不同频率的信息，从而决定输出的图像效果。