欧拉公式具体是什么.

欧拉

欧拉公式

著名的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法国度过.他17岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家.在世发表论文700多篇,去世后还留下100多篇待发表.其论著几乎涉及所有数学分支.他首先使用f(x)表示函数,首先用∑表示连加,首先用i表示虚数单位.在立体几何中多面体研究中,首先发现并证明欧拉公式.

多面体

多面体的定义

若干个平面多边形围成的几何体

(1)

(2)

(3)

( 4 )

( 5 )

多面体的有关概念

多面体的面

棱

顶点

凸多面体

把多面体的任何一个面延伸为平面,如果所有其他各面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做凸多面体

多面体的分类

四多面体

五多面体

六多面体等

多面体

正多面体

每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体,叫正多面体.

(1)

(2)

(3)

正四面体

正六面体

正八面体

正十二面体

正二十面体

多面体

(6)

( 7 )

( 8 )

简单多面体

表面经过连续变形能变成一个球面的多面体

( 5 )

讨论

问题1: (1)数出下列四个多面体的顶点数V,面数F,棱数E 并填表

(1)

(2)

(3)

图形编号

顶点数V

面数F

棱数E

(1)

(2)

(3)

(4)

规律:

V+F-E=2

(欧拉公式)

(4)

( 6 )

( 5 )

问题1: (2)数出下列多面体的顶点数V,面数F,棱数E 并填表

图形编号

顶点数V

面数F

棱数E

(5)

(6)

V+F-E=2

(欧拉公式)

简单多面体

讨论

问题2:如何证明欧拉公式

讨论

思考1:多面体的面数是F,顶点数是V,棱数是E,则平面图形中的多边形个数,顶点数,边数分别为

思考2:设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形,各个面的内角总和是多少

(n1-2) ·1800+ (n2-2) ·1800+···+ (nF-2) ·1800=(n1+n2+···+nF-2F)· 1800

思考3: n1+n2+···+nF和多面体的棱数E有什么关系

n1+n2+···+nF =2E

F,V,E.

问题2:如何证明欧拉公式

讨论

多边形内角和=(E-F)·3600

思考4:设平面图形中最大多边形(即多边形ABCDE)是m边形,则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少

2(m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600

∴(E-F)·3600= (V-2) ·3600

问题2:如何证明欧拉公式

讨论

V+F-E=2

欧拉公式

问题3:欧拉公式的应用

例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是有60 个C原子组成的分子,它结构为简单多面体形状.这个多面体有60个顶点,从每个顶点都引出3条棱,各面的形状分别为五边星或六边形两种.计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少

解:设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个.

由题意有顶点数V=60,面数=x+y,棱数E= (3×60)

根据欧拉公式,可得 60+(x+y) - (3×60)=2

另一方面,棱数也可由多边形的边数来表示,即

(5x+6y)= (3×60)

由以上两个方程可解出 x=12,y=20

答:C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20个.

例2,有没有棱数是7 的简单多面体

解:假设有一个简单多面体的棱数E=7.

根据欧拉公式得 V+F=E+2=9

因为多面体的顶点数V≥4,面数F≥4,所以只有两种情形:

V=4,F=5 或 V=5,F=4.

但是,有4 个顶点的多面体只有4个面,而四面体也只有四个顶点.所以假设不成立,没有棱数是7 的简单多面体