错位相减法

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。错位相减法 - 举例求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）　当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2；　当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；　∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n；　两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；　化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2错位相减法 - 解题方法在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）：　S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan （1）　在（1）的左右两边同时乘上a。 得到等式（2）如下：　aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 （2）　用（1）—（2），得到等式（3）如下：　（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 （3）　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1　S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1　最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。 错位相减法 - 具体例题 例子：求和Sn=3x+5x^2+7x^3+……+(2n-1)·x的n-1次方（x不等于0）　解：当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)=n^2当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+……..+(2n-1)·x的n-1次方　所以xSn=x+3x^2+5x^3+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方　所以两式相减的(1－x)Sn=1+2x(1+x+x^2+x^3+...+x的n-2次方)－(2n-1)·x的n次方。　化简得：Sn=(2n-1)·x地n+1次方－(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方　Cn=(2n+1)*2^n　Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n　2Sn=3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)　两式相减得　-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1) =6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1) =6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和) =(1-2n)*2^(n+1)-2　所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2错位相减法这个在求等比数列求和公式时就用了　Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n　两边同时乘以1/2　1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）　两式相减　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)　Sn=1-1/2^n