全国初中数学联赛试题

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2001年全国初中数学联赛第一试

一、选择题（每小题7分，***42分）

1、a，b，c为有理数，且等式 a + b√2 + c√3 = √(5 + 2√6) 成立，则 2a + 999b + 1001c 的值是（ ）

（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）不能确定

2、若ab≠1，且有 5a2 + 2001a + 9 = 0及 9b2 + 2001b + 5 = 0，则 a/b 的值是（ ）

（A）9/5 （B）5/9 （C）-2001/5 （D）-2001/9

3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，则AC的长为（ ）

（A）2 + √3 （B）2 - √3 （C）3/10 （D）√3 - √2

4、在△ABC中，D是边AC上的一点，下面四种情况中，△ABD∽△ACB不一定成立的情况是（ ）

（A）AD·BC = AB·BD （B）AB2 = AD·AC （C）∠ABD = ∠ACB （D）AB·BC = AC·BD

5、①在实数范围内，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根为 x = -b/2a ± √(b2-4ac)/2a；②在△ABC中，若 AC2 + BC2 ＞ AB2，则△ABC是锐角三角形；③在△ABC和△A'B'C'中，a，b，c分别为△ABC的三边，分别为的三边，若a＞a'，b＞b'，c＞c'，则△ABC的面积S大于△A'B'C'的面积S'。以上三个命题中，假命题的个数是（ ）

（A）0（B）1（C）2（D）3

6、某商场对顾客实行优惠，规定：①如一次购物不超过200元，则不予折扣；②如一次购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分则给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元和423元；如果他只去一次购物同样的商品，则应付款是（ ）

（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8

二、填空题（每小题7分，***28分）

1、已知点P在直角坐标系中的坐标为（0，1），O为坐标原点，∠QPO=1500，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为______。

2、已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 ______ 。

3、已知x,y是正整数，并且xy+x+y=23 则x2+y2= ______ 。（非原题）

4、一个正整数，若分别加上100和168，则可得到两个完全平方数，这个正整数为 _______ 。

2008年全国初中数学联赛

2008年4月13日上午8：30—9：30

一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）

1、设a 2 + 1 = 3 a，b 2 + 1 = 3 b，且a ≠ b，则代数式 + 的值为（ ）

（A）5 （B）7 （C）9 （D）11

2、如图，设AD，BE，CF为△ABC的三条高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，则线段BE的长为（ ）

（A） （B）4 （C） （D）

3、从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ）

（A） （B） （C） （D）

4、在△ABC中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM和CN分别是这两个角的外角平分线，且点M，N分别在直线AC和直线AB上，则（ ）

（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小关系不确定

5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（ ）

（A）( ) 3 （B）( ) 4 （C）( ) 5 （D）

6、已知实数x，y满足( x – ) ( y – ) = 2008，

则3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值为（ ）

（A）– 2008 （B）2008 （C）– 1 （D）1

二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）

1、设a = ，则 = 。

2、如图，正方形ABCD的边长为1，M，N为BD所在直线上的两点，且AM = ，∠MAN = 135°，则四边形AMCN的面积为 。

3、已知二次函数y = x 2 + a x + b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，且| m | + | n | ≤ 1。设满足上述要求的b的最大值和最小值分别为p，q，则| p | + | q | = 。

4、依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 。

答案： B、D、C、B、B、D；– 2、 、 、1。

2003年全国初中数学联赛

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1. 2√(3-2√2) + √(17-12√2) 等于

A.5-4√2 B.4√2-1 C.5 D.1

2.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是

A.0 B.1 C.3 D.5

3.若函数 y = kx (k＞0) 与函数 y = 1/x 的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为

A.1 B.2 C.k D.k2

4.满足等式 x√y + y√x - √(2003x) - √(2003y) + √(2003xy) = 2003 的正整数对的个数是

A.1 B.2 C.3 D.4

5.设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且 AD/AB = 1/3．若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为 3/4，则 CE/EA 的值为

A. 1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5

6.如图，在平行四边形ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为

A.3 B.4 C.15/4 D.16/5

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.抛物线 y = ax2 +bx +c 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac=__________．

2.设 m 是整数，且方程 3x2 + mx - 2 = 0 的两根都大于 -9/5 而小于 3/7，则 m = ____________．

3.如图 AA'，BB'，分别是∠EAB，∠DBC的平分线．若 AA' = BB' = AB，则∠BAC的度数为_____________．

4.已知正整数a，b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a，b中较大的数是_________．

2007年全国初中数学联赛

第一试

一、选择题(每小题7分，***42分)

1．已知 满足 则 的值为( )．

(A)1 (B) (C) (D)

2．当 分别取值 2，…，2006，2007时，计算代数式 的值，将所得的结果相加，其和等于( )．

(A)-1 (B)l (C)0 (D)2007

3．设 是 的三边长，二次函数 在 时取最小值 ．则△ABC是( )．

(A)等腰三角形 (B)锐角三角形

(C)钝角三角形 (D)直角三角形

4．已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径．则∠A的度数是( )．

(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°

5．设K是△ABC内任意一点，△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F．则S△DEF：S△ABC的值为( )．

(A) (B) (C) (D)

6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球．现从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是( )．

(A) (B) (C) (D)

二、填空题(每小题7分，***28分)

1．设 ， 是 的小数部分， 是 的小数部分．则 .

2．对于一切不小于2的自然数 ，关于 的一元二次方程 的两个根记作 ．则

= .

3．已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB=2，BC=CD=10，AD=6，过B、D两点作圆，与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F．则BE-BF的值为 。

4．若 和 均为四位数，且均为完全平方数，则整数 的值为 。

第二试

A卷

一、(20分)设 为正整数，且 如果对一切实数 ，二次函数

的图像与 轴的两个交点间的距离不小于 ，求 的值．

二、(25分)如图l，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F．过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N．证明：∠AFN=∠DME．

三、(25分)已知 是正整数．如果关于 的方程 的根都是整数，求 的值及方程的整数根．

B卷

一、(20分)设 为正整数，且 二次函数 的图像与 轴的两个交点间的距离为 ，二次函数 的图像与 轴的两个交点间的距离为 ．如果 对一切实数 恒成立，求 的值。

二、(25分)同A卷第二题．

三、(25分)设 是正整数，二次函数 反比例函数 ．如果两个函数的图像的交点都是整点(横、纵坐标都是整数的点)，求 的值．

C卷

一、(20分)同B卷第一题．

二、(25分)同A卷第二题．

三、(25分)设 是正整数．如果二次函数 和反比例函数 的图像有公***整点(横、纵坐标都是整数的点)，求 的值和对应的公***整点．

2006年全国初中数学联赛

第一试

一、选择题(每小题7分，***42分)

1．已知四边形ABCD为任意凸四边形，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点用S、p分别表示四边形ABCD的面积和周长；S1、p1，分别表示四边形EFGH的面积和周长．设 ．则下面关于 的说法中，正确的是( )．

(A) 均为常值 (B) 为常值， 不为常值

(C) 不为常值， 为常值 (D) 均不为常值

2．已知 为实数，且 是关于 的方程 的两根．则 的值为( )．

(A) (B) (C) (D)1

3．关于 的方程 仅有两个不同的实根．则实数 的取值范围是( )．

(A)a＞0 (B)a≥4 (C)2＜a＜4 (D)0＜a＜4

4．设 则实数 的大小关系是( )．

(A) (B) (C) (D)

5． 为有理数，且满足等式 ,则 的值为( )．

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

6．将满足条件“至少出现一个数字0且是4的倍数的正整数”从小到大排成一列数：20，40，60，80，100，104，…．则这列数中的第158个数为( )．

(A)2000 (B)2004 (C)2008 (D)2012

二、填空题(每小题7分，***28分)

1．函数 的图像与 轴交点的横坐标之和等于 ．

2．在等腰 中，AC=BC=1，M是BC的中点，CE⊥AM于点E，交AB于点F，则S△MBF= 。

3．使 取最小值的实数 的值为 ．

4．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足 。

就称格点P为“好点”．则正方形OABC内部好点的个数为 ．

注：所谓格点，是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点．

第二试

A卷

一、(20分)已知关于 的一元二次方程 无相异两实根．则满足条件的有序正整数组 有多少组?

二、(25分)如图l，D为等腰△ABC底边BC的中点，E、F分别为AC及其延长线上的点．已知∠EDF=90°．ED=DF=1，AD=5．求线段BC的长．

三、(25分)如图2，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．求证：

(1)O、E、O1三点***线；

(2)

B卷

一、(20分)同A卷第一题．

二、(25分)同A卷第二题．

三、(25分)如图2，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线分别与BC、DC的延长线交于点E、F，点O、O1分别为△CEF、△ABE的外心．

(1)求证：O、E、01三点***线；

(2)若 求 的度数．

C卷

一、(20分)同A卷第二题．

二、(25分)同B卷第三题．

三、(25分)设 为正整数，且 ．在平面直角坐标系中，点 和点 的连线段通过 个格点 ．证明：

(1)若 为质数，则在原点O(0，0)与点 的连线段 上除端点外无其他格点；

(2)若在原点O(0，0)与点 的连线段 上除端点外无其他格点，则p为质数．