什么是复合函数？

复合函数含义：

函数y=log2x是对数函数，那么函数y=log2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设y=log2u，u=2x-1，因此函数y=log2(2x-1)是由对数函数y=log2u和一次函数u=2x-1经过复合而成的。一般地：

若 ，又 ，且 值域与 定义域的交集不空，则函数 叫 的复合函数，其中 叫外层函数， 叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。

例：y=1/[(x^2+2x+6)^0.5]设x^2+2x+6为t，(x^2+2x+6)^0.5为a

可以看成f(x)=x^2+2x+6

h(t)=t^0.5

g(a)=1/a

所谓复合函数其实主要目的把你不懂得函数化成你熟悉的函数像2次函数，反比例函数等等。这样就可以解决题目了。

复合函数的单调性是“同增异减”

若f(x)在它的定义域上为增函数，h(t)在它的定义域上为减函数那么h(t)和f(x)组成的复合函数单调性为减函数，若g(a)的单调性为

减，那么h(t)和f(x)和g(a)组成的复合函数单调性为增函数

简言之：复合函数就是: 把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.

例如: f(x) = 3x+5, g(x) = x2+1; 复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x换成g(x),

f(g(x)) = 3g(x)+5 = 3(x2+1)+5 = 3x2+8.

对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型：

（一）求复合函数表达式；

（二）求复合函数相关定义域；

（三）复合函数的单调性；

（四）函数性质等与复合函数结合。

新课程中复合函数相关题：

7，如果 ，证明： 。

8、已知函数 与 分别由下表给出，那么

1 2 3 4 1 2 3 4

2 3 4 1 2 1 4 3

9、设函数 ，函数 ，求 。

7、已知 是一个定义在R上的函数，求证：（1） 是偶函数；（2） 是奇函数。

20、求满足下列条件的函数 的解析式：

（1） ；（2） 。

定义

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设y=f(μ),μ=φ(x),当x在μ=φ(x)的定义域Dφ中变化时，μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量μ形成的一种函数关系，记为

y=f(μ)=f[φ(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，μ为中间变量，y为因变量(即函数)

生成条件

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不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当μ=φ(x)的值域Zφ含于y=f(μ)的定义域Df时，二者才可以复合成一个复合函数。

定义域

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若函数y=f(u)的定义域是B﹐函数u=g(x)的定义域是A﹐则复合函数y=f[g(x)]的定义域是

D={x/x∈A,且g(x)∈B}

周期性

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设y=f(x),的最小正周期为T1，μ=φ(x）的最小正周期为T2，则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）

增减性

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依y=f(x),μ=φ(x)的增减性决定。即“增增得增，减减得增，增减得减”