黎曼积分与勒贝格积分概述
黎曼积分与勒贝格积分作为高等数学理念 ，其学习难度不言而喻，当下许多数学爱好者和学生们对此都难以理解，为了帮助大家对两者有着基本理解，我从个人角度阐释对于两者的分析，让更多的人知晓这两者积分的意义。
一，直观解释
首先来看一个直观上的解释，比如桌上有一叠钱，包括1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元这些面额的纸币。我把这叠钱按照原本放在桌子上从上到下的顺序一张张给你，这就是Riemann积分。如果我先把这叠钱按照面额大小1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元这样排序，然后把排好序的这叠钱一张张给你，这就是Lebesgue积分。
二，两者差异
Lebesgue积分可以看作是黎曼积分的一种推广，他们最简单的一个区别就是黎曼可积的函数一定勒贝格可积，而勒贝格可积的函数不一定黎曼可积。黎曼积分对函数的性质的要求过于严格，其要求函数基本上是连续的，也就是当出现一个函数在区间[a,b]上黎曼可积但不连续的情况时，由于不连续点处的振幅是会超过我们预先给定的值的，我们必须使这些不连续点可被长度总和任意小的区间所包围而最简单的例子就是定义在[0,1]上的函数:
f(x)={0x∈R/Q1x∈Q
由于“有问题的点”有无穷个，不管在多小的邻域内它的振幅均为1，故我们无法做到使其达布上和等于达布下和，而为了解决这个问题，我们只需要将我们的划分方式稍加改变，由原先的划分定义域改变为划分值域。故经过对值域进行划分，我们便可知道其勒贝格积分等于1乘上[0,1]上所有有理点的测度和加上0乘上[0,1]上所有无理点的测度和，由于有理数集为可数集，故其测度为0。
三，两者性质
从两种积分本身的性质来看，Lebesgue积分是绝对收敛的积分，而Riemann积分不是。具体地说，我们知道，对于普通的Riemann积分（定积分），可积则绝对可积，反之不对；而对于Riemann广义积分，绝对可积则可积，反之不对。也就是说，Riemann积分意义下的绝对可积与可积是不等价的。而对于Lebesgue积分，我们知道，可积与绝对可积是一回事，也就是说，绝对可积与可积到了Lebesgue积分的意义下变成了等价关系，Lebesgue积分将绝对可积与可积统一起来。这是Lebesgue积分优于Riemann积分的一个重要区别。
详解一，
从两种积分意义下的可积函数类来看，Lebesgue可积函数列构成的线性空间是封闭的，而Riemann可积函数列构成的线性空间对极限运算是不是封闭的，也就是说，一个Riemann可积函数列的极限函数可能不再是Riemann可积的，而Lebesgue可积函数类对极限运算是封闭的。而正由于这种封闭性，我们在定义?L2?空间时更倾向于使用勒贝格积分。
函数列黎曼可积但其极限不黎曼可积的例子：
考虑[0,1]上的函数序列fn(x)={1x1n≤x≤10otherwise，显然其几乎处处收敛到如下函数：f(x)={1x0<x≤10x=0
然而，我们有?fn?黎曼可积但?f?黎曼不可积，这是从函数类上看Lebesgue积分优于Riemann积分的另一个重要特点。
详解二，
下面再来聊一聊黎曼积分与勒贝格积分的又一个重要区别，也就是积分和极限可交换顺序的问题，积分与极限交换顺序是数学分析中的一个十分重要的运算，其将计算函数的积分的问题与数列极限的问题联系了起来，而首先，当我们只有黎曼积分的知识时，积分与极限可交换顺序的条件是十分严苛的，他所要求函数列一致收敛，要满足Arzela 控制收敛定理。这里，我们不仅要求函数列一致有界，而且还得要求?f(x)?在区间[a,b]上可积。
其大大降低了函数列一致有界的要求，转而只需其被另一个函数?g(x)?所“控制”，且由于勒贝格可积函数列所构成线性空间的封闭性，其不需要要求?f(x)?（即函数列的极限）可积，而且在勒贝格积分的意义下，用于判断积分与极限可交换次序还有一个与控制收敛定理完全等价的定理，即单调收敛定理。这也给了我们一个处理积分与极限可交换顺序问题的有力方法，但是，类似的定理在黎曼积分上是不存在的
详解三，
下面再说一个关于“Lebesgue可积等价于绝对可积”深刻的理解我们知道，对于绝对收敛的级数，任意调换各项的次序不会改变收敛性以及该级数的和，而条件收敛的级数，调换各项次序可能导致所得级数发散，即便仍收敛，该级数的和可以是任意想要的值。我们反过来考虑这个结果，一个求和运算，如果任意换序都是收敛的，那么这种收敛必然是绝对收敛，此时绝对收敛与收敛是一回事；而如果一个求和在换序后导致收敛性发生变化（包括发散或极限值改变），那么这种收敛就是条件收敛，换句话说，是“有条件地”收敛，而非“绝对地”收敛。
回到积分的定义上来。Riemann积分的本质是分割定义域，近似求和取极限。我们把曲线下方图形想象成被切成了很多个小竖条，Riemann积分是将这些小条的面积从左到右顺次“加”起来，这种收敛只能是“从左到右”求和的收敛，是一种“有序求和”的收敛，这种收敛性是不可随意换序的。而Lebesgue积分的本质是分割值域，再近似求和取极限，是先按照值域把高度（函数值）相近的一些小条拼在一起得到一个较宽的条，再把这些拼好的高矮不同的宽条的面积加起来，这种收敛是经过了重新排序再求和的收敛，是一种“可换序求和”的收敛，按照上面所说的，这种收敛必然是绝对收敛，因此Lebesgue积分就是绝对可积的积分。