11的整除规律

朋友，你当日浪费?我一题，咁耐终于肯再现身喇。( 实数闭集的题目(不易) ) 留意 10≡- 1 (mod 11) 对任意的正整数 n

存在非负整数 k 使得 n 有如下表示式 n = a0 + a110 + .... + ak-110k-1 + ak10k 其中 ai 为正整数，i=1

2

...

k。 所以 n≡a0 + a110 + .... + ak-110k-1 + ak10k≡a0 + a1(-1) + .... + ak-1(-1)k-1 + ak(-1)k ≡a0 - a1+ .... + ak(-1)k (mod 11) 其中 a0 - a1+ .... + ak(-1)k 就是把奇数项之和减去偶数项之和。 所以，如 a0 - a1+ .... + ak(-1)k = 0 ，可得 n≡a0 - a1+ .... + ak(-1)k ≡0 (mod 11) 因此 n 可以被 11整除。 图片参考：i175.photobucket/albums/w130/bjoechan2003/My%20Cat%2020070228/DSCN0685?t=1172373912

设 O(n) = (o_n){10^[2(n-1)]} + [e_(n-1)]{10^[2(n-1)-1]} + [o_(n-1)]{10^[2(n-2)]} + [e_(n-2)]{10^[2(n-2)-1]} + [o_(n-2)]{10^[2(n-3)]} + ... + (e_1)(10) + (o_1)(1) E(n) = (e_n)[10^(2n-1)] + (o_n){10^[2(n-1)]} + [e_(n-1)]{10^[2(n-1)-1]} + [o_(n-1)]{10^[2(n-2)]} + [e_(n-2)]{10^[2(n-2)-1]} + [o_(n-2)]{10^[2(n-3)]} + ... + (e_1)(10) + (o_1)(1) 其中i为任何正整数

(o_i)和(e_i)为任何正整数. 当n = 1

不用考虑O(1)

因为只有一个位

不在命题中. (命题假设由两位数字开始证明.) E(1) = (e_1)(10) + (o_1)(1) = 11(e_1) + (o_1) - (e_1) 11(e_1)是11的倍数

E(1)为11的倍数当且仅当(o_1) - (e_1)是11的倍数. 注意: 0也是11的倍数. 当n = 2

O(2) = (o_2)(10^2) + (e_1)(10) + (o_1)(1) = 100(o_2) + 10(e_1) + (o_1) = 99(o_2) + 11(e_1) + (o_2) + (o_1) - (e_1) 99(o_2)和11(e_1)都是11的倍数

O(2)为11的倍数当且仅当(o_2) + (o_1) - (e_1)是11的倍数. 假设命题对于某些正整数k成立

即 O(k)为11的倍数

当且仅当 (o_k) + [o_(k-1)] + [o_(k-2)] + ... + (o_1) - {[e_(k-1)] + [e_(k-2)] + ... + (e_1)} = 11(N_o) E(k)为11的倍数

当且仅当 (o_k) + [o_(k-1)] + [o_(k-2)] + ... + (o_1) - {(e_k) + [e_(k-1)] + [e_(k-2)] + ... + (e_1)} = 11(N_e) 其中(N_o)和(N_e)为整数. 当n = k+1

O(k+1) = [o_(k+1)][10^(2k)] + (e_k)[10^(2k-1)] + (o_k){10^[2(k-1)]} + [e_(k-1)]{10^[2(k-1)-1]} + [o_(k-1)]{10^[2(k-2)]} + ... + (e_1)(10) + (o_1)(1) = [o_(k+1)][10^(2k)] + (e_k)[10^(2k-1)] + O(k) = [o_(k+1)][10^(2k-1)](10) + (e_k)[10^(2k-1)] + O(k) = {(10)[o_(k+1)] + (e_k)}[10^(2k-1)] + O(k) = {(11)[o_(k+1)] - [o_(k+1)] + (e_k)}[10^(2k-1)] + O(k) = (11)[o_(k+1)][10^(2k-1)] - {[o_(k+1)] - (e_k)}[10^(2k-1)] + O(k) 因(11)[o_(k+1)][10^(2k-1)]为11的倍数

若O(k)为11的倍数

O(k+1)为11的倍数当且仅当{[o_(k+1)] - (e_k)}[10^(2k-1)]为11的倍数

即 O(k+1)为11的倍数

当且仅当 [o_(k+1)] + (o_k) + [o_(k-1)] + [o_(k-2)] + ... + (o_1) - {(e_k) + [e_(k-1)] + [e_(k-2)] + ... + (e_1)}为11的倍数. 相似地

E(k+1)为11的倍数

当且仅当 [o_(k+1)] + (o_k) + [o_(k-1)] + [o_(k-2)] + ... + (o_1) - {[e_(k+1)] + (e_k) + [e_(k-1)] + [e_(k-2)] + ... + (e_1)}为11的倍数. 证毕. 不好意思

可能写得不太好

但主要想给你知道证明的其中一个方法

有问题欢迎提出. ^_^ 2007-02-25 11:57:16 补充： 漏了一句

利用数学归纳法

对于所有正整数n大于1

O(n)成立; 对于所有正整数n大于等于1

E(n)成立.鸣...猫朋兄的简单得多

今回又输了.T_T

11的倍数即系11＋11＋11．．．．．． 每加一个数都系同一时间个位及十位都多了1，把奇数项减去偶数项就等于把该数值－11－11－11－11．．．最后当然系11的倍数或0了！