高二数学问题

(3)f(x)=lnx/x+1/x,

求导得：f’(x)=(1-lnx)/x^2-1/x^2=-lnx/x^2

所以x>1时，f’(x)<0,函数递减。

0<x<1时，f’(x)>0,函数递增。

则x=1时，函数取到极大值，也是最大值。

∴f(x)≤f(1)=0+1=1,

即在定义域内，f(x)≤1恒成立。

因为f(x)≤1，即lnx/x+1/x≤1，

lnx/x≤1-1/x.

分别令x=2^2,3^2,4^2,……，n^2得：

ln2^2/2^2<1-1/2^2,

ln3^2/3^2<1-1/3^2,

ln4^2/4^2<1-1/4^2,

……，

lnn^2/n^2<1-1/n^2,

以上各式相加得：

ln2^2/2^2+ ln3^2/3^2+ ln4^2/4^2+……+lnn^2/n^2

<1-1/2^2+1-1/3^2+1-1/4^2+……+1-1/n^2

=(n-1)-( 1/2^2+1/3^2+1/4^2+……+1/n^2)

<(n-1)-(1/(2*3)+1/(3*4)+1/(4*5)+……+1/(n(n+1))

=(n-1)-(1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……+1/n-1/(n+1))

=(n-1)- (1/2-1/(n+1))

= n-3/2+1/(n+1)

=(2n^2+2n-3n-3+1)/[2(n+1)]

=(2n^2-n-2)/[2(n+1)]

<(2n^2-n-1)/[2(n+1)]

=(2n+1)(n-1) /[2(n+1)],

∴ln2^2/2^2+ ln3^2/3^2+ ln4^2/4^2+……+lnn^2/n^2

<(2n+1)(n-1) /[2(n+1)].