重、磁异常的正演方法
3.5.1 概述
野外重磁测量结果经过整理计算，便得到重磁异常分布图（平面等值线图及平面剖面图）。重磁异常是地下密度、磁性不均匀体的反映，而密度、磁性的分布不均又与岩石、地层、矿产（藏）、地质构造相关。要利用重磁异常解决上述地质问题，就必须分析、研究重磁异常，作出重磁异常的解释推断。在这一过程中，经常采用将实际异常与各种典型地质体的计算（理论）异常相比较的方法。因此，了解和掌握一些典型地质体模型的重磁异常特征，是正确解释实际异常的基础。
在重磁异常的解释理论中，将由地质体的赋存状态（形状、产状、空间位置）和物性参数（密度、磁性）计算地质体引起的重磁异常的过程称为正演，也称正问题；反之，根据重磁异常的分布确定地质体的赋存状态（形状、产状、空间位置）和物性参数的过程称为反演或反问题。
决定重力异常分布特征的因素是地质体的形状和剩余密度（标量）；决定磁异常分布特征则有：地质体形状，地质体的磁化强度（矢量）、地质体所在地区地磁场的方向，地质体走向的方向。因此，影响磁异常分布特征的因素较重力异常多，磁异常较同源的重力异常复杂。（1.1-96）式表明，重、磁同源时，垂直磁化的水平磁异常，分别与重力异常的水平导数（Δg）（Δg）的分布特征相同；而垂直磁化的垂直磁异常与重力异常的垂直导数（Δg）的分布特征相同。掌握这一规律，有利于记忆、分析重磁异常的特征。限于篇幅，本节仅讨论球体、水平圆柱体的正、反问题。其他形体的正、反问题解法，可参阅相关书籍。
3.5.2 简单条件下规则地质体异常
3.5.2.1 球体异常
实践中，将埋藏有一定深度的近于等轴状的地质体，如矿巢、矿囊、岩株和穹窿构造等地质体在地面所产生的重磁异常，近似看作球体异常。球体是一种常见的三度体模型。
（1）异常解析式
a.重力异常解析式。图3-8所示为剩余密度为ρ的均匀球体，可看作全部质量（剩余质量）集中于球心Q（ξ，η，h）的质点，因此公式（1.1-68）～（1.1-75）中的被积函数可移至积分号外，而
图3-8 球体及坐标关系图
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故在空间任意点P（x，y，z）所引起的重力磁异常及引力位高阶导数解析式为
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式中：m=ρv（剩余质量）。若令球心Q位于坐标原点正下方，即Q的坐标为（0，0，h），测点P坐标为（x，y，0），则在地表（xoy面）内公式
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再令y=0，得主剖面上的公式
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b.磁异常公式。如图3-8所示的均匀磁化球体的公式，应将（3.5-2）～（3.5-7）式分别代入（1.1-89）～（1.1-91）式以及（1.1-93）式，并令ξ=η=0，z=0，可得到坐标原点位于球心正上方时，xoy面内的磁异常公式
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式中：
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其中，m=Mv为球体磁矩（M为磁化强度）。
当x轴（测线或剖面）与磁化强度M的水平分量的方向一致（δ=0）时，有
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其中：
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若令（3.5-18）～（3.5-21）各式中y=0，则得到过球心在地表投影点上的任意剖面公式
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若令（3.5-18）～（3.5-21）各式中的y=0，δ=0，则得到过球心在地表投影点的主剖面的磁异常公式
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对球体主剖面而言，磁化强度即有效磁化强度（M=Ms，i=is，is为有效磁化倾角）。
（2）异常特征
仅讨论ρ＞0而0°≤i≤90°情况下的重、磁异常分布特征。
a.平面特征。
①重力异常。将式（3.5-9）改写成
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图3-9 球体异常平面等值线图
由上式可知，r不变时，Δg值相等，即Δg的平面等值线是以球心在地面的投影点为圆心的一系列同心圆，极大值点在球心的正上方（图3-9（a））。
②垂直磁化垂直磁异常。由式（3.5-20）可知，垂直磁化（i=90°）时，有
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同理，的平面等值线是以球心在地面投影为圆心的一系列同心圆，极大值在球心正上方。当2 h2＞ r2 时为正等值线，2 h2＜ r2 为负等值线，2 h2 =r2 时为零等值线（图3-9（b））。
③斜磁化垂直异常。由式（3.5-20）可知，斜磁化（0°＜i＜90°）时，Za不是观测点坐标x、y的简单函数，其平面等值线较垂直磁化时复杂，（图3-9（c））。由Za分别对x、y求偏导数，可推出正、负极值点均在x轴上，即正、负极值点连线在磁化强度水平分量方向，也即是说斜磁化Za平面等值线的极大值与极小值点的连线为主剖面。
④斜磁化总强度磁异常。由式（3.5-21）可知，ΔΤ除与i，δ有关外，还与I0、A′有关，即其平面等值线非简单曲线（图3-9（d））。均匀磁化球体虽是一个简单的地质体模型，但其总强度磁异常却很复杂，由于在磁化强度M与地磁场T0方向不一致时，不能像垂直磁异常那样，由ΔT平面等值线的极大值与极小值点连线确定主剖面。
由图3-9可以看出，球体重磁异常平面等值线的图形无明显的方向性。
b.主剖面特征。
① Δg、Vxz、Vzz及Vzzz
由式（3.5-14）～（3.5-17）可以看出，Δg、Vzz、Vzzz均为x的偶函数，Vxz则为x的奇函数，故前者为轴对称而后者为点对称。（图3-10（a）、（b）、（c））。x=0（即原点）处
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图3-10 球体主剖面异常曲线
相应数值公式为
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同理
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相应数值公式
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相应数值公式
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以上三式中，t代表吨。
对Δg来说，当x→±∞时，Δg=Δgmin=0。若令Δg（x）=Δgmax／n，可得出x1／n=±（n2／3-1）1／2·h，取n=2，则x1/2=±0.766 h。说明异常半极值点的横坐标为球心埋深的0.766倍，可方便地解出球心埋深。当h不变，使m（剩余质量）增大m′倍，异常也增大m′倍；而当 m 不变，h 增大m′倍时，异常极大值减为原值，而 x 1/n将增大为原值的m′倍，故随 h 的增大，异常迅速衰减，曲线明显平缓。
Vxz、Vzz与Vzzz与剩余质量成正比，Vxz，Vzz的极大值与球体中心深度h的三次方成反比，而Vzzz的极大值与球体中心深度h的四次方成反比。
②Za、Hax、ΔT
图（3-10（d））为Hax、Ζa的主剖面曲线，当i=90°（垂直磁化）时，Za（90°）为轴对称，Hax（90°）为点对称；水平磁化（i=0°）时，Za（0°）为点对称，Hax（0°）为轴对称；斜磁化时，Za（45°）与Hax（45°）均为非对称曲线，Zamax点向磁化强度M的水平分量的反方向移动。
当i=90°时，由（3.5-32）式推出
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当x=0时
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当Hax，Hay，Za，ΔT均以nT为单位，其余量均以SI为单位时，则计算出的Hax、Hay、Za、ΔT的数值均乘以102。
图3-10（e）为M、T0方向一致（δ=A′，i=I0）且A′=0°，而i分别为90°，45°，0°的ΔT曲线，结合式（3.5-33），读者可自行分析。
显然，磁异常（Za，Hax，ΔT）与磁矩m成正比，其极大值与球体中心埋深h的三次方成反比，随深度的增加异常曲线幅值减小且曲线变化趋于平缓。
c.垂直断面特征。对重力异常来说，过球心的铅直面称为垂直断面。对磁异常而言，过球心且与磁化强度平行的铅直面称为垂直断面。
在（3.5-14）式中，令x=rsinθ、h=rcosθ，得极坐标下重力异常公式
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令上式中Δg取不同数值时，可得到球体重力异常垂直断面等值线图（3-11（a））。同理，对式（3.5-32），也可推出公式
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垂直磁化时（i=90°）：
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分别对应
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垂直断面图参阅〔3-11（b）〕。
图3-11 球体异常垂直断面等值线
图3-12 无限长水平圆柱体及坐标关系图
3.5.2.2 无限长水平圆柱体异常
埋藏在一定深度上的横截面近似于等轴状，沿走向延伸较长的扁豆状体、长轴背斜、向斜等构造，研究其在地表产生的重力异常时，可近似将它们视为无限长水平圆柱体。
（1）异常公式
a.重力异常公式。图（3-12）所示的剩余密度均匀的无限长水平圆柱体可视为质量集中于轴线上的无限长水平质线。参阅式（1.1-77）～（1.1-81）各式中的被积函数均可移至积分号外，而=S（S 为圆柱体截面积），因此有
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式中：线密度λ=ρS。
以上各式中，令ξ=0，z=0，则得到坐标原点在轴线正上方的剖面（x轴）上的解析式
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b.磁异常公式。将式（3.5-50）～（3.5-51）代入式（1.1-95）可得剖面磁异常公式
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式中：ms=MsS为单位长度的有效磁矩。
将式（3.5-50），（3.5-51）代入式（1.1-103），得
图3-13 无限长水平圆柱体剖面异常图
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式中
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若将式（3.5-49）、（3.5-50）代入（1.1-104）式，可得M与T0方向一致时公式
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式中：ε2=2I0s-90°。
（2）异常特征
容易理解，无限长水平圆柱体的重磁异常平面等值线应为一系列相互平行的直线，这种长条带状异常是二度体重磁异常的基本特征。
a.剖面特征。无限长水平圆柱体的Δg、Vzz、Vzzz是x的偶函数，Vxz是x的奇函数，其剖面特征参阅图（3-13（a）、（b）、（c））。图3-13（d）为Za，Hax曲线，其对称性、斜磁化时极值的偏移方向均类似于球体。图3-13（e）为ΔT曲线，其剖面特征也类似于球体。
b.垂直断面特征。无限长水平圆柱体Δg，Za的极坐标形式为
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垂直磁化时有：
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故
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以上三式中，Δg、Z a、取常数时，可分别得到其断面图，图（3-14（a），（b））分别为Δg、的相应图形。
3.5.2.3 台阶及板状体异常
台阶是常见的地质模型，如接触带、超覆岩层等。研究其地表异常时，可将它们视为如图（3-15）所示的台阶。一些矿脉、岩脉、岩墙及基底变质岩系等，只要它们沿走向方向较长，研究其在地表异常时，可将它们近似为板（脉）状体。图3-16为板状体的地质模型。
图3-14 水平圆柱体异常的垂直断面图
利用重力异常公式（二度体），读者可自行推导出相应的重磁异常公式。
图3-15 台阶及坐标关系图
图3-16 板状体及坐标关系图
3.5.3 复杂条件下不规则地质体异常计算方法
3.5.3.1 任意截面形状的水平二度体异常的计算方法
图3-17所示的任意截面形状的水平二度体，可用一个任意多边形截面的二度体逼近。
为计算简便，取计算点为原点。设n个边的任意多边形的第i个角点坐标为（ξi，ζi），顺时针计第i+1个角点坐标为（ξi+1，ζi+1）（i=1，2，3，…，n）则多边形第i个边（第i+1与第i个角点连线），直线方程为：
图3-17 多边形截面二度体及坐标关系图
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式中
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利用式（1.1-77），有
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将（3.5-63）式代入上式并用各边积分和代替闭合积分
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类似地，可求出Vxz、Vzz等解析式，利用泊松公式，可求得其磁异常公式。
3.5.3.2 任意形状三度异常的计算方法
计算任意形状三度体异常的基本方法是，首先将三度体分割为数个单元，然后用解析式计算出每个单元在计算点所产生的异常值，最后用累加求和或数值积分计算出任意形状三度体异常的近似值。按分割方式的不同，可分为体元法、面元法和线元法。
（1）体元法
用三组平行于空间直角坐标系的平面分割任意三度体，每个单元均为长方体或正方体，计算每个长方体（或正方体）的作用值，再累加求和求得三度体的作用值。
（2）面元法
用一系列平行于y轴（或x轴）的铅垂面分割任意三度体，视每个单元为薄片，称作垂直面元，再用多边形代替面元，按多边形的异常公式计算每个面元的作用值，再对数个面元的作用值进行数值积分，便可求得。
（3）线元法
分别用平行于x轴和y轴的铅垂面切割任意三度体，每个单元皆为直立棱柱体，其质量可视为集中在柱体的轴线上，称为直立线元。由线元公式计算每个单元的作用值，再对数个线元作用值进行数值积分，便可求得任意三度体异常近似值。