与陶哲轩谈谈什么是好数学

后来查了一下，原来文章就是数学家陶哲轩写的，也真是大家所见略同了啊！下面我就对陶哲轩的好数学补充一下实例，而且尽量都选用与自己有关的例子，毕竟Strongart教授的很多数学思想正是属于这样的好数学啊！ 好的数学题解(比如在一个重要数学问题上的重大突破) 答：这一点我还没有明确的结果，只不过偶尔能回答一些网友的问题。 好的数学技巧(比如对现有方法的精湛运用， 或发展新的工具) 答：这一点我也没有明确结果，对技巧之类的并不在行。 好的数学理论(比如系统性地统一或推广一系列现有结果的概念框架或符号选择) 答：Strongart教授独立提出Noether算子与Artin算子的概念，它与Fredholm一样可以作为I-T紧算子的推广，假若你没有学过标准的泛函分析理论，很可能以为这两个概念在泛函分析中本来就有的呢！ 好的数学洞察(比如一个重要的概念简化， 或对一个统一的原理、 启示、 类比或主题的实现) 答：比如Fredholm算子中闭值域的条件可以省略，这个尽管不是我先发现的，但我立刻就领会到它的意义，并且把它解释为忽略了有限维空间的同构，引入到自己的泛函分析视频当中。 好的数学发现(比如对一个出人意料、 引人入胜的新的数学现象、 关联或反例的揭示) 答：大约十年前我找到一个很初等的反例，就是三维欧式空间中异面直线的距离不满足度量空间的公理，这是因为度量空间是对点之间距离的抽象，并不是适合集合之间的距离。 好的数学应用(比如应用于物理、 工程、 计算机科学、 统计等领域的重要问题， 或将一个数学领域的结果应用于另一个数学领域) 答：对物理工程的应用我不太关心，但Strongart教授提出S-divisor，把代数几何中的除子推广了集合上，并且给出了模糊数学的解释。 好的数学展示(比如对新近数学课题的详尽而广博的概览， 或一个清晰而动机合理的论证) 答：我的数学视频A Story of Limit就是典型，它小结了微积分中极限概念是如何一部部发展到范畴理论的。 好的数学教学(比如能让他人更有效地学习及研究数学的讲义或写作风格， 或对数学教育的贡献） 答：我的数学视频完全符合此标准，在讲解内射模时引入半单模，把外可裂与内可裂做比较；在讲解谱理论时，特别定义的不完备情形的乌索普等等，这些都是非常个性也非常有启发的内容。我的很多数学笔记都属于此类，比如总结了交换环是怎么推广到非交换环的，单复变函数是怎么推广到多复变函数的，整理了极分解定理在泛函分析算子代数与李群代数群理论中的表现等等。Strongart教授能够像讲故事一样讲代数与泛函之类的研究生水准的数学，在数学教育方面的贡献是无可匹及的！

好的数学远见(比如富有成效的长远计划或猜想) 答：Strongart提出了流体数学的思想，可能就符合这个标准。 好的数学品味(比如自身有趣且对重要课题、 主题或问题有影响的研究目标) 答：我更加关注高贵的代数学，认为代数就是哲学与组合相结合的结果。 好的数学公关(比如向非数学家或另一个领域的数学家有效地展示数学成就)； 答：我讲解纤维丛的视频Visible Fibre Bundle就是一个典型例子。 好的元数学(比如数学基础、 哲学、 历史、 学识或实践方面的进展) 答：Strongart既是数学家，又是哲学家，在这方面自然是卓有成就，提出了模型数学的概念，方法论上MLMA步骤，还有对数学公理化思想的揭示，乃至于最后把数学的本质解释为德里达的differance等等。 严密的数学(所有细节都正确、 细致而完整地给出) 答：这个不是我擅长的。 美丽的数学(比如Ramanujan 的令人惊奇的恒等式； 陈述简单漂亮， 证明却很困难的结果) 答：美丽未必一定要证明困难，像Euler公式e^(iπ）+1=0就是美丽而简单的，Strongart教授关于S-divisor也有一个美丽的公式：div ?6?1={θ}. 优美的数学(比如Paul Erdos 的“来自天书的证明” 观念； 通过最少的努力得到困难的结果) 答：在教学介绍了e-ab与e-ba可逆性等价的证明就非常优美，当然这不是我第一个发现的。 创造性的数学(比如本质上新颖的原创技巧、 观点或各类结果) 答：我有各种不同的小创造，散见与文章与视频之中，这个与上面几条似乎有所重复。 有用的数学(比如会在某个领域的未来工作中被反复用到的引理或方法) 答：我曾经把泛函分析中Hahn-Banach定理与抽象代数中Baer判据做了比较，抽象出一个关于扩张问题的引理，只可惜后来发现类似的引理已经被提出过了。 强有力的数学(比如与一个已知反例相匹配的敏锐的结果， 或从一个看起来很弱的假设推出一个强得出乎意料的结论) 答：直线可以表为第一纲集与零测集的并，这个并不是我发现的，但我第一眼就看中了它，并且演绎出了一段直线上的童话故事。 深刻的数学(比如一个明显非平凡的结果， 比如理解一个无法用更初等的方法接近的微妙现象) 答：比如可数维Banach空间的不存在性，它本质上要涉及到纲推理，这是我以前做过的一道习题，后来引入到自己的泛函分析视频里。 直观的数学(比如一个自然的、 容易形象化的论证) 答：这个我还没有自己的结果，只是自己讲课一般都不看讲稿，因此就只能去寻找或者制作最简单最容易记住的证明方式。 明确的数学(比如对某一类型的所有客体的分类， 对一个数学课题的结论) 答：我整理过球面上切丛的可平凡化问题，尽管这个不是我发现的，但可以对明确数学也有所意识。 以前就是数学家陶哲轩提出的种种好数学，这里我再补充一个好数学，那就是能够已经被写入或者可能被写入教科书里的数学，而且还不能是那种生硬的引用，要能够与教科书中原有的内容无缝衔接，就像从基础知识中自然流淌出来一般。遗憾的是，国内很多数学系就是急功近利盲目赶时髦，结果只能是从论文中来，到论文中去，永远不能被书本乃至于数学史所接纳，那些靠时间堆积出来的东西，终究是会被时间给淹没掉的！