海伦公式 能推广到三维吗？

海伦公式的几种另证及其推广

关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：

设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则

S△ABC = aha= ab×sinC = r p

= 2R2sinAsinBsinC =

=

其中，S△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。

海伦公式在解题中有十分重要的应用。

一、 海伦公式的变形

S=

= ①

= ②

= ③

= ④

= ⑤

二、 海伦公式的证明

证一 勾股定理

分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:

x = y =

ha = = =

∴ S△ABC = aha= a× =

此时S△ABC为变形④，故得证。

证二：斯氏定理

分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，

若BD=u，DC=v,AD=t.则

t 2 =

证明：由证一可知，u = v =

∴ ha 2 = t 2 = －

∴ S△ABC = aha = a ×

=

此时为S△ABC的变形⑤，故得证。

证三：余弦定理

分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。

证明：要证明S =

则要证S =

=

= ab×sinC

此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。

证四：恒等式

分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。

恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么

tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1

证明：如图，tg = ①

tg = ②

tg = ③

根据恒等式，得：

+ + =

①②③代入，得：

∴r2(x+y+z) = xyz ④

如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x

∴x = 同理：y = z =

代入 ④，得： r 2 · =

两边同乘以 ，得：

r 2 · =

两边开方，得： r · =

左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。

证五：半角定理

半角定理：tg =

tg =

tg =

证明：根据tg = = ∴r = × y ①

同理r = × z ② r = × x ③

①×②×③,得： r3 = ×xyz