关于圆锥曲线知识点总结

解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

1、三种圆锥曲线的研究

（1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集： ，其中F为定点，d为P到定直线的l距离，F l，如图。

因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。

当0<e<1时，点P轨迹是椭圆；当e>1时，点P轨迹是双曲线；当e=1时，点P轨迹是抛物线。

（2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF1|+|PF2|=2a，2a>|F1F2|>0，F1、F2为定点}，双曲线{P|||PF1|-|PF2||=2a，|F1F2|>2a>0，F1，F2为定点}。

（3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。

①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上

椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。

②定量：

椭 圆

双 曲 线

抛 物 线

焦 距

2c

长轴长

2a

——

实轴长

——

2a

短轴长

2b

焦点到对应

准线距离

P=2

p

通径长

2·

2p

离心率

1

基本量关系

a2=b2+c2

C2=a2+b2

（4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）

举焦点在x轴上的方程如下：

椭 圆

双 曲 线

抛 物 线

标准方程

（a>b>0）

（a>0，b>0）

y2=2px（p>0）

顶 点

（±a，0）

（0，±b）

（±a，0）

（0，0）

焦 点

（±c，0）

（ ，0）

准 线

X=±

x=

中 心

（0，0）

有界性

|x|≤a

|y|≤b

|x|≥a

x≥0

焦半径

P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点

|PF1|=a+ex0

|PF2|=a-ex0

P在右支时：

|PF1|=a+ex0

|PF2|=-a+ex0

P在左支时：

|PF1|=-a-ex0

|PF2|=a-ex0

|PF|=x0+

总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2、直线和圆锥曲线位置关系

（1）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。

其中直线和曲线只有一个公***点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

直线和抛物线只有一个公***点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。

当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。

4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。