高中数学必修一基本初等函数公式

基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根(n th root)，其中 >1，且 ∈ *.

当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radical exponent)，叫做被开方数(radicand).

当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号- 表示.正的次方根与负的次方根可以合并成± ( >0).由此可得：负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0，记作。

注意：当是奇数时，，当是偶数时，

2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

1、0的正分数指数幂等于0，

2、0的负分数指数幂没有意义

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.

3.实数指数幂的运算性质

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential )，其中x是自变量，函数的定义域为R.

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

1、a>1

2、0

3、向x、y轴正负方向无限延伸

4、函数的定义域为R

5、图象关于原点和y轴不对称

6、非奇非偶函数

7、函数图象都在x轴上方

8、函数的值域为R+

9、函数图象都过定点(0，1)

自左向右看，图象逐渐上升；

自左向右看，图象逐渐下降。

增函数；减函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于1

在第一象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都大于1

图象上升趋势是越来越陡；图象上升趋势是越来越缓

函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快;

函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢;

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

二、对数函数

(一)对数

1.对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作： ( — 底数， — 真数， — 对数式)

说明：

1 ）注意底数的限制，且 ;

2 ）注意对数的书写格式.

2、两个重要对数：

1 常用对数：以10为底的对数 ;

2 自然对数：以无理数为底的对数的对数 .

对数式与指数式的互化

对数式指数式

对数底数 ← → 幂底数

对数 ← → 指数

真数 ← → 幂

(二)对数的运算性质

注意：换底公式

利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) .

(二)对数函数

1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是(0，+∞).

注意：

1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.

2）对数函数对底数的限制：，且 .

2、对数函数的性质：

a>1

函数性质

1函数图象都在y轴右侧

2函数的定义域为(0，+∞)

3图象关于原点和y轴不对称

4非奇非偶函数

5向y轴正负方向无限延伸

6函数的值域为R

7函数图象都过定点(1，0)

自左向右看，图象逐渐上升

自左向右看，图象逐渐下降

增函数

减函数

第一象限的图象纵坐标都大于0

第二象限的图象纵坐标都小于0

(三)幂函数

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.

2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1);

(2) 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸;

(3) 时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：

方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.

3、函数零点的求法：

求函数的零点：

1 (代数法)求方程的实数根;

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点：

二次函数 .

1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.

2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.

3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.

三角函数和反三角函数

这是起源于几何学的最简单的超越函数。高等分析学中计量角度的方法是所谓弧度法,即以单位圆周上的弧段量度相应的圆心角。三角函数是sinx、cosx以及由它们导出的和它们的定义如图1所示。sinx和cosx在 x=0处的泰勒展式为　(2)　(3)它们的收敛半径为。sinx、cosx、tanx、cotx 、secx 、cosecx的反函数分别为 arcsinx、 arccosx、 arctanx、arccotx、arcsecx、arccosecx(或记为sin-1x、 cos-1x、tan-1x、cot-1x、sec-1x、cosec-1x),

初等函数图形

并称为反三角函数。指数函数和对数函数设α为一正数，则y=αz表示以α为底的指数函数（图2）。其反函数y=logαx称为以α为底的对数函数(图3)。特别当α=e时称y=ez（或expx）和y=logαx=lnx（或logx）为指数函数和对数函数。logx能由下面的积分式定义它表示由双曲线、下由t轴、左右分别由t=1和t=x两直线所围的面积。由此可知当x在正实轴上变化时，y=logx取值在实轴上，且log1=0。它是x的增函数,导数。此外logx满足加法定理，即log(x1·x2)=logx1+logx2。

对数函数的反函数指数函数

ex是定义在实轴上取值于正实数的增函数，且 e0=1。 ex的导数与它本身相同。此外ex满足乘法定理，即。ex在x=0处的泰勒展式为。

双曲函数和反双曲函数

由指数函数经有理运算可导出双曲函

初等函数

数。其性质与三角函数很相似，并以 sinhx、coshx、tanhx、cothx、sechx、cosechx表示之，其定义如下：分别称为双曲正弦（图4）和双曲余弦（图5）。像三角函数一样，由它们导出的双曲正切（图6）tanhx=sinhx/coshx，双曲余切（图7）cothx=coshx/sinhx等都称为双曲函数。它们有如下的几何解释，即双曲线x2-y2=1(x>0)上取一点M,又令O为原点,N=(1,0)，将ON,OM和双曲线上的弧所围面积记为θ/2，点M的坐标视为θ的函数,并记为coshθ和sinhθ，即有表示式(5)。初等函数初等函数初等函数初等函数　复变量初等函数定义域为复数域的初等函数。

有理函数、幂函数和根式函数

两个复系数的多项式之比为有理函数,它实现扩充的复平面到自身的解析映射。分式线性函数是一个特殊的有理函数，它在复分析中有重要的意义。另一个特殊情形是幂函数w=zn，n 是自然数,

初等函数

它在全平面是解析的,且。因此当n≥2时，它在全平面除z=0以外到处实现***形映射（保角映射）。它将圆周丨z丨= r变为圆周|w|=rn，将射线argz=θ变为射线argw=nθ。任何一个区域,只要该区域中任两点的辐角差小于2π/n,它就是w=zn的单叶性区域。幂函数 w=zn的反函数为根式函数,它有n 个值,(k=0，1,…,n-1),称为它的分支。它们在任何区域θ1z <θ1+2π 中都单值解析而且将这个区域变为区域。它们的导数为。

指数函数和对数函数

在指数函数式(4)中将x换为复变量z,便得到复变量的指数函数w=ez,并且,显然有 (k为整数)。复指数函数有类似于实指数函数的性质：ez是一整函数且对任何复数z,ez≠0;它满足乘法定理:；ez以2kπi为周期，即；并且它的导数与本身相同，即。函数w=ez在全平面实现***形映射。任何一个区域，只要对区域内任两点，其虚部之差小于2π，它就是ez的单叶性区域。例如,指数函数把直线x=x0变为圆周,把直线y=y0变为射线argw=y0，因而把区域Sk变为区域 0w <2π，把宽度为β的带形区域α0< α0+β(β≤2π)变为开度为β的角形域α0w<α0+β。对数函数w=Lnz是指数函数ez的反函数，它有无穷多个值2kπ)（k 为整数），称为它的分支。每一个分支在区域θ0z<θ0+ 2π 中是解析的，且有。对数函数把这个区域单叶地变为带形区域θ0w <θ0+2π，也把开度为β的角形域θ0z<θ0+β(β≤2π)变为宽度为β的带形区域θ0w <θ0+β。特别(Lnz)0=Lnz是实对数函数 lnz在复数域上的推广。象实对数函数一样，它满足加法定理，即对任两个不为零的复数z1和z2。