描述一下这几个正面体的外形

透视正二十面体

将正二十面体的一对对边连接起来，会形成一个长方形，其长与宽的比例呈黄金分割比(大约为1.618)．如果用卡片纸剪出3个相等的这类长方形，并如图1所示对称地粘合在一起，则其12个顶点会落在一个正二十面体的顶点上．

要以此种方法做出正二十面体，可用卡片纸做数个13cm×8cm的长方形(费波那契数列中相邻两数的比是黄金分割比很好的近似值，参见《数学乐园·茅塞顿开》)．在长方形卡片纸上剪出长条状的切口，并将之嵌合在一起，然后使用彩色毛线或有弹性的松紧带做出边．在每一个角上剪出小的V形切口，才能使每一边较容易固定住．

以设计测地线圆顶(geodesic domes)而闻名的美国建筑天才富勒(Buckminster Fuller)对包含支柱与具有张力的钢丝结构作了特别的研究，其中有许多是关于“最小结构”的研究，也就是说，找出能使给定的数个点在空间中保持一定位置的最简单结构．图2是正二十面体结构中12个顶点的解答，由富勒所提出．图中6根支柱的位置就是先前提过的模型中3个长方形卡片纸的长边所在的位置，再用钢丝或尼龙线连接各个端点．

图2中有某些线条(边)没有画出，富勒发现在他设计的结构中，并不需要把正二十面体所有的边全部都用钢丝连接，就能使支柱固定住．如果你仔细地观察，会发现每一根支柱的端点都连接4条钢丝，比起完整的正二十面体的每个顶点都连有5条边的情形，此模型显得更为引人入胜．

制作此模型并不太困难．准备一些直径6mm的夹缝钉杆，每隔30cm切一段，***切出6小段(支柱)．然后在每一根支柱的端点切出5mm深的细缝，用细绳绕出6个回路，将支柱连接起来．在每一个回路中细绳的长度是关键，如图3所示的ABCD与RQPS回路，当细绳拉紧时应为72cm长．你可以把细绳沿着36cm宽的厚纸板或硬纸板紧紧地绕一圈，得到72cm的长度．

模型的结构易于调整是很重要的，细绳紧密地卡在支柱终端的细缝中，即使在不拉紧时仍能保持模型的形状．

首先将4根支柱用2个回路连接起来，如图3所示，然后再把剩下的2根支柱用另外4个回路连接在一起．

从制作过程到成品的呈现，这个模型的确相当令人满意．

认识正八面体

发布时间：2006-11-24

我们在这里所要讨论的是由8个等边三角形组成的正八面体，每个顶点都有4个三角形相交于此(图1)，且其他的顶点也是如此．将图2放大，制作一个正八面体．边长8cm的三角形做出的模型大小适中，而且用一张A4的纸或卡片纸刚好．如果你是使用卡片纸，记得要在每条线上刻出印痕，才能折出整齐的边．

我们可以从许多角度来观察正八面体，每一种角度都能使我们更了解它．从展开图建构模型，使我们的注意力集中在面的形状与在一个顶点相会之面的数目．但是当你做好模型后，正八面体的其他性质就显而易见了．想象一下将正八面体水平切成两半，切面通过A、B、C、D4个顶点，如图3，将正八面体切成两个相等而且以正方形为底的金字塔．如果将正八面体旋转，使得任何其他的顶点如A或B位于上方，则所得出的结果也会相同．事实上，如果正八面体上没有任何标记，要区分一个顶点与其他顶点的不同之处是不可能的；面的情况也是如此．

由于这种对称性，任何通过一对相对顶点的二分切割都会得到如图4所示的正方形切面．

这给了我们一种新的角度来观察正八面体，也提供了制作模型的不同方法．

用卡片纸剪出两个正方形代表切面ABCD与EBFD．在这两个正方形中割出细缝，如图5，并沿BOD将两纸片组合起来．

当这两张卡片纸互相垂直时，A、B、C、D、E与F6点也就是正八面体的顶点．

继续完成此模型．剪下第三个正方形代表切面AECF；将正方形沿对角线EF分成两半，再沿着OA与OC割出细缝，如图6；现在将这两片半个正方形附加上去，即完成此模型，再使用胶水或胶带纸固定．

另一种做模型的方法是使用3个正方形框，重点是强调正八面体的正方形切面(可使用旧的铁丝衣架，且铁丝漆成不同颜色)．用线将各个顶角绑起来，这种模型强调八面体的边．

将线或松紧带穿入吸管，也可以做出这种强调八面体边的模型(图7)．不过使用吸管时，通常是先做出一个三角形，然后在上面搭出其他三角形，直到模型完成．也可以分别用4根吸管做出3个分开的环，代表切面ABCD、AECF与BEDF，然后将之联接在一起．在最后联接在一起之前，这种模型都不具有内在的刚性．这种方法相当富于启发性．

由八面体中的一个顶点开始，例如A，可以找到一条路径，走过所有的边而不需重复经过任何边就返回起点，例如：

A→B→E→D→F→B→C→D→A→E→C→F→A

杜德尼(H．E．Dudney)曾以此为基础设计了一道谜题，他向读者提出挑战，要找出由一个顶点开始究竟有多少条此种路径．路径的数目大得惊人，请你也试着找找看．

既然有此种路径存在，就表示你能用12根吸管连接成的封闭环做出一个吸管八面体．请试一试．

如果把吸管八面体置于幕布之前，再用光照射，则会出现各种不同形状的投影，但最令人惊奇的是会出现六边形与其对角线(图8)．这是怎么做到的？

只要在吸管模型的一面加上3根吸管，就可以轻易地做出一个四面体．如果在八面体的各个面间隔地做出此种四面体，结果就是一个较大的四面体．

另一种观察正八面体与正四面体之间关系的方法是将正四面体的角对称地截去，参见图9．

如果以正八面体为起点并在其8个面上都加一个四面体，结果将成为一个八角星或是两个互相穿插的正四面体，而两者中间的***同部分就是最初的那个正八面体，参见图10．

现在仔细观察八角星，你可以发现各角也是正方体的顶点，参见图11；同时，最初的正八面体的顶点也恰好位于正方体各面的中心，参见图12．

其实，正方体与正八面体之间关系之密切远不只如此．如果以正八面体为起点，将相邻面的中点画线连接，就可以形成正方体，参见图13．因此，我们称正方体与正八面体互为“对偶”(dual)型立体，而且它们具有相同的对称性．正方体的任何对称面也都是正八面体的对称面．同理，旋转对称轴也是一样．同时，无论是正方体还是正八面体，截角到最后的形状都是“方形八面体”(cuboctahedron)，参见图14．

天然的晶体通常会形成各种形状，例如一般的氯化钠晶体为正方体，明矾晶体为正八面体，辉银矿石的晶体为方形八面体．只要我们了解球体能以各种方式堆叠在一起充填空间，就会觉得晶体形状各异其实并不足以为奇．下列图形显示较常见的几种排列方式及其与各种形状之间的关系，不过要真的了解两者的关系，最好是用小球做出模型．

在图15与图16中，球在每一层都排成正方形，而在新的一层上也是一样．这称为“正方体填充”(cubical packing)，如图15．如果考虑6个球要触及某一特定的球，参见图16，则那6个球的中心就位于正八面体的顶点．如一层球排成正方形，而新的一层球均位于前一层球形成的凹洞之中，也能显现出正八面体的形状，参见图17．方形八面体可以看成是一层球排成六边形，而新的一层球则位于前一层球形成的各个凹洞中，参见图18．在这种情况下要注意的是在间隔的层之间，球并没有直接上下相连，但是对应着由中间一层的球所形成的凹洞．

正十二面体

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Image:Dodekaeder-Animation.gif正十二面体是由12个正五边形所组成的正多面体。

若以正十二面体的中心为(0,0,0)，其顶点的座标为{(0,±1/φ,±φ), (±1/φ,±φ,0), (±φ,0,±1/φ), (±1,±1,±1)}，其中φ = (1+√5)/2，黄金分割数。

Image:Dodecahedron flat.png

哈密尔顿图的理论就是源自一个和正十二面体有关的问题：试求一条路径，沿正十二面体的棱经过它所有的顶点。