微分几何学的研究内容包括哪些方面？

微分几何学是数学的一个分支，主要研究流形上的曲线、曲面等几何对象的性质。它是一门非常抽象的学科，涉及到许多高深的概念和方法。

微分几何学的研究内容主要包括以下几个方面：

1.流形理论：流形是微分几何学中最基本的概念之一，它是由局部欧几里得空间拼接而成的拓扑空间。流形理论主要研究流形的结构、性质和分类等问题。

2.曲线和曲面理论：曲线和曲面是微分几何学中最重要的研究对象之一。它们在自然界和工程中都有广泛的应用。曲线和曲面理论主要研究曲线和曲面的形状、大小、曲率等性质。

3.度量理论：度量是描述空间中点与点之间距离关系的工具。度量理论主要研究如何定义和计算度量，以及度量对空间结构的影响。

4.联络理论：联络是一种描述空间中曲线和曲面之间相互关系的工具。联络理论主要研究联络的性质和应用。

5.黎曼几何学：黎曼几何学是微分几何学的一个重要分支，它主要研究黎曼流形上的几何问题。黎曼几何学在物理学、天文学等领域都有重要应用。