什么是对勾函数？怎么用对勾函数解答均值不等式不能解决的问题？

1.概念：对勾函数的一般形式为f(x)=x?+?a?/x(a>0).

2.奇偶性与单调性：容易得出，对勾函数是奇函数。

对勾函数的单调性可由求导的方法或直接利用定义判断得到，它有四个单调区间。

在(-∞，-a]和[a，+∞)上是增函数；在[-a，0)和(0，a]上是减函数。

3.图像：①由于是奇函数，所以图像关于原点对称，再根据单调性，可以得到函数的图像。

②对勾函数的图像有两个顶点，它们关于原点对称，分别是A(a，2a)和B(-a，-2a)。

③对勾函数的图像有两条渐近线，分别是y轴和直线y=x，对勾函数的图像夹在渐近线之间，形状两个对称的“勾”。

4.解决均值不等式不能直接解决的问题举例：

例：求函数f(x)=(x?+5)/√(x?+4)的最小值。注：?√(x?+4)表示根号下?(x?+4)

①错解：(x?+5)/√(x?+4)=(x?+4+1)/√(x?+4)

=√(x?+4)+1/√(x?+4)

≥2√(x?+4)?1/√(x?+4)]=2

所以　f(x)的最小值为2。

②错因分析：由于√(x?+4)的最小值是2，所以它不可能等于1/√(x?+4)，上面的不等式不能取“=”。直接用公式肯定是不行的。

③对勾函数的应用

令t=√(x?+4)，t≥2，则　t?=x?+4，

g(t)=f(x)=(x?+5)/√(x?+4)=(t?+1)/t=?t+1/t?，t≥2

由于　f(x)=g(t)=t+1/t?在[2，+∞)上是增函数　　　注：实际上一个增区间是[1，+∞）

从而，当t=2时，有最小值，为5/2.