双曲线及其标准方程

(一)椭圆及其标准方程

1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点F1、F2的距离的和大于|F1F2|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于| F1F2|，则这样的点不存在；若距离之和等于

| F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2

2.椭圆的标准方程：x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1（a＞b＞0），y?0?5/a?0?5+x?0?5/b?0?5=1（a＞b＞0）.

3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果x?0?5项的分母大于y?0?5项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.

4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

(二)椭圆的简单几何性质

1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1（a＞b＞0）.

⑴ 范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.

⑶ 顶点：有四个A1（-a，0）、A2（a，0）B1（0，-b）、B2（0，b）.

线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点.

⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e=c/a叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆.

2.椭圆的第二定义

⑴ 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=c/a（e＜1时，这个动点的轨迹是椭圆.

⑵ 准线：根据椭圆的对称性，x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1（a＞b＞0）的准线有两条，它们的方程为x=±（a?0?5/c）.对于椭圆y?0?5/a?0?5+x?0?5/b?0?5=1（a＞b＞0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即y=

±（a?0?5/c）.

3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.

设F1（-c，0），F2（c，0）分别为椭圆x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1（a＞b＞0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为|MF1|=a+ex，|MF2|=a+ex.

椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.

椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有a?0?5=b?0?5+c?0?5，e=c/a两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.

4.椭圆的参数方程

椭圆x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1（a＞b＞0）的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ（θ为参数）.

说明：⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角θ与直线OP的倾斜角α不同：tanα=（b/a）tanθ；

⑵ 椭圆的参数方程可以由方程x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1与三角恒等式sin?0?5θ+cos?0?5θ=1相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.

5.椭圆的的内外部

（1）点P（x0,y0）在椭圆x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1（a＞b＞0）的内部，得出x0?0?5/a?0?5+y0?0?5/b?0?5＜1.

（2）点P（x0,y0）在椭圆x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1（a＞b＞0）的外部，得出 x0?0?5/a?0?5+y0?0?5/b?0?5＞1.

6. 椭圆的切线方程

（1）椭圆x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1（a＞b＞0）上一点P（x0,y0）处的切线方程是（x0?6?1x）/a?0?5+（y0?6?1y）/b?0?5=1.

（2）过椭圆x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1（a＞b＞0）外一点P（x0,y0）所引两条切线的切点弦方程是（x0?6?1x）/a?0?5+（y0?6?1y）/b?0?5=1.

（3）椭圆x?0?5/a?0?5+y?0?5/b?0?5=1（a＞b＞0）与直线Ax+By+C=0相切的条件是A?0?5a?0?5+B?0?5b?0?5=c?0?5

(三)双曲线及其标准方程

1.双曲线的定义：平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于常数2a（小于|F1F2|）的动点M的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a＜|F1F2|，这一条件可以用“三角形的两

边之差小于第三边”加以理解.若2a=|F1F2|，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞|F1F2|，则无轨迹.若|MF1|＜|MF2|时，动点M的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若|MF1|＞|MF2|时，轨迹为

双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.

2.双曲线的标准方程：x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1和y?0?5/a?0?5+x?0?5/b?0?5=1（a＞0，b＞0）.这里b?0?5=c?0?5-a?0?5，其中|F1F2|=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.

3.双曲线的标准方程判别方法是：如果x?0?5项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果 项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大

小来判断焦点在哪一条坐标轴上.

4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

(四)双曲线的简单几何性质

1.双曲线：x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1的实轴长为2a，虚轴长为2b，离心率e=c/a＞1，离心率e越大，双曲线的开口越大.

2. 双曲线：x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1的渐近线方程为y=±（b/a）或表示为：x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=0.若已知双曲线的渐近线方程是y=±（m/n）x，即mx±ny=0，那么双曲线的方程具有以下形式：m?0?5x?0?5-

n?0?5y?0?5=k，其中k是一个不为零的常数.

3.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线：x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1，它的焦点坐标是（-c，0）

和（c，0），与它们对应的准线方程分别是x=-a?0?5/c和x=a?0?5/c.双曲线：x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1(a＞0，b＞0)的焦半径公式|PF1|=|e（x+a?0?5/c）|，|PF2|=|e（-x+a?0?5/c）|.

4.双曲线的内外部

(1)点P（x0,y0）在双曲线x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1(a＞0，b＞0)的内部,得出x0?0?5/a?0?5-y0?0?5/b?0?5＜1.

(2)点P（x0,y0）在双曲线x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1(a＞0，b＞0)的外部,得出x0?0?5/a?0?5-y0?0?5/b?0?5＞1.

5.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1得出渐近线方程：x?0?5/a?0?5±y?0?5/b?0?5=0得出y=±（a/b）x.

(2)若渐近线方程为y=±（a/b）x，得出 x?0?5/a?0?5±y?0?5/b?0?5=0，双曲线可设为x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=λ.

(3)若双曲线与x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1有公***渐近线，可设为x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=λ（λ＞0，焦点在x轴上，λ＜0，焦点在y轴上）.

6. 双曲线的切线方程

（1）双曲线x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1(a＞0，b＞0)上一点P（x0,y0）处的切线方程是（x0?6?1x）/a?0?5-（y0?6?1y）/b?0?5=1.

（2）过双曲线x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1(a＞0，b＞0)外一点P（x0,y0）所引两条切线的切点弦方程是（x0?6?1x）/a?0?5+（y0?6?1y）/b?0?5=1.

（3）双曲线x?0?5/a?0?5-y?0?5/b?0?5=1(a＞0，b＞0)与直线Ax+By+C=0相切的条件是A?0?5a?0?5-B?0?5b?0?5=c?0?5.

(五)抛物线的标准方程和几何性质

1．抛物线的定义：平面内到一定点（F）和一条定直线（l）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，这条定直线l叫抛物线的准线。

需强调的是，点F不在直线l上，否则轨迹是过点F且与l垂直的直线，而不是抛物线。

2．抛物线的方程有四种类型：

y?0?5=2px、y?0?5=-2px、x?0?5=2py、x?0?5=-2py.

对于以上四种方程：应注意掌握它们的规律：曲线的对称轴是哪个轴，方程中的该项即为一次项；一次项前面是正号则曲线的开口方向向x轴或y轴的正方向；一次项前面是负号则曲线的开

口方向向x轴或y轴的负方向。

3．抛物线的几何性质，以标准方程y2=2px为例

（1）范围：x≥0；

（2）对称轴：对称轴为y=0，由方程和图像均可以看出；

（3）顶点：O（0，0），注：抛物线亦叫无心圆锥曲线（因为无中心）；

（4）离心率：e=1，由于e是常数，所以抛物线的形状变化是由方程中的p决定的；

（5）准线方程x=-p/2；

（6）焦半径公式：抛物线上一点P（x1，y1），F为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p＞0）：

y?0?5=2px，|PF|=x1+p/2；y?0?5=-2px，|PF|=-x1+p/2

x?0?5=2py，|PF|=y1+p/2；x?0?5=-2py，|PF|=-y1+p/2

（7）焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线y2=2px（p＞O）的焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的倾斜角为α，则①|

AB|=x +x +p②|AB|=2p/(sina)?0?5这两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，只能用“弦长公式”来求。

（8）直线与抛物线的关系：直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程：x +bx+c=0，当a≠0时，两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同，用判别式法即可；但如果a=0，则直线是抛

物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时，直线和抛物线相交，但只有一个公***点。

4.抛物线y?0?5=2px上的动点可设为P(y0?0?5/2p,y0)或P(y0?0?5/2p,y0)或P（x0,y0），其中 y0?0?5=2px0.

5.二次函数y=ax?0?5+bx+c=a(x+b/2a)?0?5+ [ (4ac-b?0?5)/4a ]（a≠0）的图象是抛物线：（1）顶点坐标为[-b/2a，（4ac-b?0?5）/4a]；（2）焦点的坐标为[-b/2a，（4ac-b?0?5+1）/4a]；（3）准线方

程是y=（4ac-b?0?5+1）/4a.

6.抛物线的内外部

(1)点P（x0,y0）在抛物线y?0?5=2px（p＞0）的内部，得出y?0?5＜2px（p＞0）.

点P（x0,y0）在抛物线y?0?5=2px（p＞0）的外部，得出y?0?5＞2px（p＞0）.

(2)点P（x0,y0）在抛物线y?0?5=-2px（p＞0）的内部，得出y?0?5＜-2px（p＞0）.

点P（x0,y0）在抛物线y?0?5=-2px（p＞0）的外部，得出y?0?5＞-2px（p＞0）.

(3)点P（x0,y0）在抛物线x?0?5=2py（p＞0）的内部，得出x?0?5＜2py（p＞0）.

点P（x0,y0）在抛物线x?0?5=2py（p＞0）的外部，得出x?0?5＞2py（p＞0）.

(4)点P（x0,y0）在抛物线x?0?5=-2py（p＞0）的内部，得出x?0?5＜-2py（p＞0）.

点P（x0,y0）在抛物线x?0?5=-2py（p＞0）的外部，得出x?0?5＞-2py（p＞0）.

7. 抛物线的切线方程

(1)抛物线y?0?5=2px（p＞0）上一点P（x0,y0）处的切线方程是y0?6?1y=p(x+x0).

(2)过抛物线y?0?5=2px（p＞0）外一点P（x0,y0）所引两条切线的切点弦方程是y0?6?1y=p(x+x0).

(3)抛物线y?0?5=2px（p＞0）与直线Ax+By+C=0相切的条件是pB?0?5=2AC.

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