微分中值定理知识，学出解答过程

证明：

1）

构造函数：y=arctanx+arctan(1/x)

其定义域为：x>0

在任意其定义域区间（b,a）a>b>0，显然该函数满足拉格朗日中值定理，因此：

[f(a)-f(b)]/(a-b)

= f'(ξ)

= 1/(1+ξ?) + 1/[1+(1/ξ)?] * (-1/ξ?)

=0

即：

f(a)=f(b)

上式表明该函数在任意定义域内都有f(a)=f(b)，因此：

函数f(x)是常数函数

令a=1，则：

f(1)=π/2

∴arctanx+arctan(1/x) =π/2

2)

构造函数：y=arctanx - (1/2)arccos[2x/(1+x?)]

其定义域：x≥1

显然在定义域的任何区间内，该函数满足拉格朗日中值定理，因此：

对于定义域内任意区间(b,a)，?ξ∈(b,a)，则：

[f(a)-f(b)]/(a-b)

= f'(ξ)

= 1/(1+ξ?) -(1/2)/√{1-[2ξ/(1+ξ?)]?} · {[2(1+ξ?)-4ξ?]/(1+ξ?)?}

=0

即：

f(a)=f(b)

上式表明该函数在任意定义域内都有f(a)=f(b)，因此：

函数f(x)是常数函数

令a=1，则：

f(1)=π/4

∴arctanx - (1/2)arccos[2x/(1+x?)]=π/4