初二数学竞赛题 x ,y是正整数 2的x次方加49等于y的平方。求x ， y各是多少

易证：平方数被4除的余数仅有1或0。

因2的x次方加49 ，被4除的余数必为1，显然，Y是个奇数，且必是个大于7的奇数。

不妨令Y = 2M + 7 M为正整数

则根据题意有：

(2M + 7)^2 = 2^X + 49

即：

4M^2 + 28M + 49 = 2^X + 49

即：

4M^2 + 28M = 2^X

即：

M^2 + 7M = 2^(X - 2)

即：

M(M + 7) = 2^(X - 2)

显然等号右边只含有因数1、2，则等号左边M、M + 7亦必仅含因数1、2。

而当M含有大于等于1个因数2时，M + 7是奇数、必含有除1、2外的其他因数。

推得M只能 = 1，M + 7 = 8

此时：

X = 3 + 2 = 5

Y = 2*1 + 7 = 9

此题正整数范围内仅有此一解。

平方数被4除的余数仅有1或0的证法，可设N = 2T及N = 2T + 1证明N?的整除性。