绝对值不等式公式

绝对值不等式公式是：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。

绝对值不等式公式是：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来册弯度量的。

绝对值重要不等式推导过程：

我们知道|x|={x，（x>0）；x，（x=0）；-x，（x<0）；

因此，有：

①-|a|≤a≤|a|

②-|b|≤b≤|b|

③-|b|≤-b≤|b|

由①+②得：

④-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|，即|a+b|≤|a|+|b|

由①+③得：

⑤-(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b|，即|a-b|≤|a|+|b|

另：|a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b|，|b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a|

由④知：

⑥|a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=>|a|-|b|≤|a+b|

⑦|b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|=>|a|-|b|≥-|a+b|

⑧|a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|=>|a|-|b|≤|a-b|

⑨|b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=>|a|-|b|≥-|a-b|

由⑥，⑦得：||a|-|b||≤|a+b|......⑩

由⑧，⑨得：||a|-|b||≤|a-b|......?

综合④⑤⑩?得到有关绝对值的重要不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。

要注意等号成立的条件（特别是求最值），即：

|a-b|=|a|+|b|→ab≤0

|a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0

|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0

同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0。

绝对值不等式的几何意义

当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时则启a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。（|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离）。

|a|<|b|可逆推出|b|>|a|，||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≤0时左边等号成立，ab≥0时右边等号成立。另外有：|a-b|≤|a|+|-b|=|a|+|-1|*|b|=|a|+|b|、||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。