martingale和markov chain有哪些区别与联系

首先两者的定义都不一样：

martingale的核心在于：E[Xt | Fs] = Xs （其中，s小于t）

直观解释就是如果(Xi)是martingale，那么站在时间点s上预测Xt，最佳的预测还是在Xs，也就是现在的情况。

举个简单的例子：假如你现在(时间点s)身上有100块,你进赌场玩了一个公平游戏 (当然现实的赌场大部分并不是！)，然后估计你在两个小时之后 (时间点t) 身上的钱剩下多少？

答案当然还是100块！从这个例子可以看出, martingale就是在用这种方式刻画这种“公平性”。

而markov性则是另一种性质：（摘自维基百科）

意思就是在给定当前信息的情况下，只有当前的状态用来预测将来，过去（即当前以前的历史状态）对于预测将来（即当前以后的未来状态）是无关的。

两者的联系与区别：

用一个很好的例子来体现两者的联系和区别，就是random walk（随机步行），这里只说一维的情形：

想象醉汉在T0时刻在数轴原点，每次都会向左或者向右随机地移动一格(也就是在T1有可能在+1或者-1，如此类推)，用Xt表示醉汉所处的位置的坐标 (例如X0=0)。

首先这样的随机过程(Xt)是不是martingale呢？这个要看醉汉向左向右移动的概率是否各为0.5(也就是是否公平的问题)。如果是，则(Xt)是martingale，否则不是。

验证：假如每次向左移动的概率为0.8，则向右为0.2的话，假设在T5时刻醉汉位置坐标为-3 (也就是X5= -3)，则在T5时刻对X6的期望为0.8*(-4)+0.2*(-2)=-3.6，并非-3。

但无论移动的概率p是多少，(Xt)都肯定是markov chain。对跟上面同样的假设，对于任意的x，给定之前的所有历史（即X0到X4）及现在（即X5）的情况，我们来考察P(X6=x)的所有情况：

x=(X5-1)时，此概率等于0.8；

x=(X5+1)时，此概率等于0.2；

x等于其他时，此概率等于0。

因此P(X6=x)这个概率必定只跟X5有关而跟X0到X4无关。