试证明3次方和4次方的结论？

第一题

我们先想想完全平方数的这个结论是怎麼来的。我们知道，两个个位数字相同的整数做相同的运算，运算後的结果个位数字依然会相同。（这里说的运算仅限於加减乘上同一个数、同取某一个整数次方等等，除法、开方这种的就不成立了。）

比如说，我们算都不用算就知道 18? 和 388?、27? 和 57?、456×13 和?86×13 的个位数字是相等的。（事实上，18? = 324、388? = 150544；27? =?19683、57? = 185193；456×13 = 5928、86×13 = 1118）

完全平方数必定是某个整数的平方，而所有整数的个位数字包含 0 到 9，因此我们只要看 0? 到 9? 的个位数字，便可以知道所有整数的平方，也就是所有完全平方数的个位数字了。

0? =?0、1? =?1、2? =?4、3? =?9、4? = 16、5? = 25、6? = 36、7? =?49、8? =?64、9? = 81

由上面可以看到，0? 到 9? 的个位数字只包含了 0、1、4、5、6、9，因此完全平方数的个位数字只有可能是?0、1、4、5、6、9。

进入正题，完全立方数也是类似的方法，我们要看 0? 到 9? 的个位数字。

0? = 0、1? = 1、2? = 8、3? = 27、4? = 64、5? = 125、6? = 216、7? = 343、8? = 512、9? = 729

由上面可以看到，0?到 9?的个位数字包含了 0 到 9，因此完全立方数的个位数字?0 到 9 皆有可能。

然後是完全四次方数。同样我们也可以看 0? 到 9? 的个位数字，但我们知道，四次方就是平方的平方，所以这里我们拿完全平方数的结论 0、1、4、5、6、9 来取平方会比较快。

0? = 0、1? = 1、4? = 16、5? = 25、6? = 36、9? = 81

由上面可以看到，完全四次方数的个位数字只有可能是?0、1、5、6。

这题比较简单一点。根据指数率，整个数取 n 次方，指数会变成 n 倍，例如：

1820 = 2?×5×7×13，1820? = (2?×5×7×13)? = 2?×5?×7?×13?，1820?= (2?×5×7×13)?= 2?×5?×7?×13?。

由於完全平方数必定是某个整数的?2 次方，因此完全平方数的质因数分解指数必为 2 的倍数。同样地，完全立方数的质因数分解指数必为 3 的倍数，完全四次方数的质因数分解指数必为 4 的倍数。