素数定理-欧几里得算法-乘法逆元

设π(x)是小于x的素数的个数，则

? π(x)≈x/lnx

eg：

? 64位二进制表示的素数的个数为

?

(1)欧拉定理

? 提及欧拉定理，需要先引出欧拉函数的定义：

? 欧拉函数Φ(n)是定义在正整数上的函数，Φ(n)的值等于序列0,1,2,3,…,n-1中与n互素的数的个数

? 欧拉函数的性质：

? (1)m的素数时，有Φ(m)=m-1

? (2)m=pq,且p和q均是素数时，有Φ(m)=Φ(p)Φ(q)=(p-1)(q-1)

? (3)若m和n互素，则Φ(m×n)=Φ(m)×Φ(n)

? (4)若p是一个素数，则Φ(p^e)=p^e-p^(e-1)

? (5)

由欧拉函数可以延伸出欧拉定理的内容：

欧拉定理:

? 对于任何互素的两个整数a和n，有

1(mod n)?

? 如果n=p是素数,则有

1(mod p)

显然欧拉定理可以看成是费马定理的推广形式。

欧拉定理可以用来简化幂的模运算

? Eg：

? 求 的后三位数字

? 解： (mod 1000)的结果

?

? 有 (mod 1000)

(2)费马定理

? 如果p是素数，a是正整数，且gcd(a,p)=1，那么

? 1(mod p)

? 另一种形式：

? 如果p是素数，a是任意正整数，则对gcd(a,p)=1,有

? (mod p)

(3)二次探测定理

? 如果p是一个素数，且0<x<p,则方程 1(mod p)的解为 x = -1、p-1。

? 即如果符合 1(mod p)，那么p很有可能是素数，但是仍不能肯定p就是素数。

(1)Wilson定理

? 对于给定的正整数n，判断n是一个素数的充要条件是 -1(mod n)。

? 虽然是充要条件，且Wilson的定理有很高的的理论介质。因为带有阶乘，在检测的时候计算量大，不适合检测较大素数的检测。

(2)米勒-拉宾算法

? 米勒-拉宾算法是一个多项式算法，能以接近概率1保证判断结果的正确性。

? Miller-Rabin(n)

? 把n-1写成 ，其中m是一个奇数

? 选取随机整数a，使得

? (mod n)

? If (mod n)

Return (‘n是素数’)

? End

? For i=0到k-1

If b≡-1(mod n)

Return (‘n是素数’)

Else

b=b^2(mod n)

End

? End

Return(‘n是合数’)

欧几里得算法描述：

? 两个整数用a，b表示，商用q表示，余数用r表示

? Step1? 取a，b较大者为a，较小者为b

? Step2? 做除法，计算并保留余数r=mod(a,b)

? Step3? 将原来的除数改做被除数，余数作为除数a=b,b=r

? 重复Step1和Step2直到r=0,返回b

乘法逆元的定义：

? 假设gcd(a,n)=1,则存在整数s，使得 (mod n)，即s是a(mod n)的乘法逆元素。

关于ax+by=d

? 设a和b是两个正整数(至少有一个非零)，d=gcd(a,b),则存在整数x和y使得ax+by=d成立，如果a、b互素，那 么存在整数x和y使得ax+by=1成立，此时可以求出ax≡1(mod b)中的x，即为逆元。

扩展欧几里得算法：

构造两个数列：

Eg：

求28mod75的乘法逆元(a=75,b=28)

? gcd(28,75)=1 所以存在逆元

? 75=2×28+19

? 28=1×19+9

? 19=2×9+1

? 9=9×1+0?

? 3×78+(-8)×28=1?

? 所以28mod75的乘法逆元为-8

中国剩余定理完整版

? Eg：

? 已知下列同余方程组，求解x

? 第一步：求M

M=2×3×5×7=210

? 第二步：求

? 第三步：求

1(mod )(i=1,2,...,k)

? 第四步:

(mod M)

(105×1×1+70×1×2+42×3×3+30×4×5)(mod 210)

173(mod 210)