复变函数与积分变换

添加平面∑1：z＝h (x^2+y^2≤h^2)，取上侧，则∑与∑1组成一个封闭曲面，方向是外侧，三个偏导数都是0，所以由高斯公式，积分是0。

所以，

∫∫(∑)(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy

＝－∫∫(∑1)(y^2-z)dydz+(z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy

＝－∫∫(∑1)(x^2-y)dxdy

＝－∫∫(D)(x^2－y)dxdy ∑1在xy面上的投影区域D：x^2+y^2≤h^2

＝－∫∫(D) x^2 dxdy

＝－1/2 ∫∫(D) (x^2+y^2)dxdy

＝－1/2 ∫0→2π dθ ∫0→h ρ^3 dρ＝－πh^4/4