全微分方程详细资料大全

全微分方程，又称恰当方程。若存在一个二元函式u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端为全微分，即M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)，则称其为全微分方程。全微分方程的充分必要条件为?M/?y=?N/?x。为了求出全微分方程的原函式，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。

基本介绍 中文名 ：全微分方程 外文名 ：complete?differential?equation 别名 ：恰当方程 判别 ：充要条件?M/?y=?N/?x 求解方法 ：不定积分法和分组法 领域 ：微积分 定义,全微分方程的通积分形式,全微分方程的判别与求解, 定义 一阶显式方程 可以改写成关于 和 的对称形式 (1) 这种形式有时便于求解。这里 和 在某一矩形域 内是 的连续函式，且具有连续的一阶偏导数。 如果存在一个二元函式 使得该方程的左端恰好是它的全微分，即有 则称其为全微分方程（或恰当方程），而函式 是 的原函式。 全微分方程的通积分形式 当方程 是全微分方程时，它可写成 ，于是其通积分就是 (2) 其中 为任意常数。 事实上，设 是原方程的解，则有 即有 对 积分得到 这表明 满足方程(2)。 反之，设 是函式方程(2)的解，即它是由(2)所确定的隐函式，则有 对 微分得到 即 这表明 满足方程(1)。 因此全微分方程的通积分形式是 。 根据上述表述，为了求解方程(1)，只要求出 的一个原函式 ，就可得到方程(1)的通积分(2)。 全微分方程的判别与求解 ①如何判别方程(1)为全微分方程，这个问题在数学内早有结论，即 方程(1)是全微分方程的充分必要条件是 在矩形域 内成立。 ②如果已判定方程(1)为全微分方程，如何求出相应全微分的原函式 ，这个问题在数学分析中也已经得到解决，最常用的方法是不定积分法。 因为所求的原函式 适应方程组 首先由第一个式子出发，把 看成参数，两边对 积分，得 其中 是 的任意可微函式，而且要选择适当的 ，使 满足第二个式子。为此，将其代入第二个等式得 即 两边对 积分，即可得到 ，再代回之前的积分，即可得到 。 但对于某些特殊的全微分方程，为了求出相应全微分的原函式，还可以采用相对简单的“分组凑全微分”的方法，即把方程的左端各项进行重新组合，使每个组的原函式容易观察得出，从而可以写出 。 而对于不是全微分的方程，可以采用积分因子使其成为全微分方程，再根据以上方法求解。