反函数的图像和性质

反函数的性质主要有：函数的定义域与值域是一一映射的；一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致等。下面我就带领大家详细盘点一下，供各位考生参考。

反函数的定义

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f-1(x) 。反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

反函数的性质

函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称；函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射等。反函数性质：函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称；函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射的。

反函数和原函数之间的关系

1、反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。

2、互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称。

3、原函数若是奇函数，则其反函数为奇函数。

4、若函数是单调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性与原函数的一致。

5、原函数与反函数的图像若有交点，则交点一定在直线y=x上或关于直线y=x对称出现。

质：

（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。

奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（7）反函数是相互的且具有唯一性；

（8）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

（9）反函数的导数关系：如果x=f(y)在开区间I上严格单调，可导，且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f-1(x)在区间S={x|x=f(y),y∈I }内也可导，且：

（10）y=x的反函数是它本身。?

扩展资料：

反函数定义：

设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得f(x)=y，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数。

并把该函数称为函数y=f(x)的反函数，记为由该定义可以很快得出函数f的定义域D和值域f(D)恰好就是反函数f-1的值域和定义域，并且f-1的反函数就是f，也就是说，函数f和f-1互为反函数，即：

反函数与原函数的复合函数等于x，即：

习惯上我们用x来表示自变量，用y来表示因变量，于是函数y=f(x)的反函数通常写成

例如，函数?

的反函数是?。

相对于反函数y=f-1(x)来说，原来的函数y=f(x)称为直接函数。反函数和直接函数的图像关于直线y=x对称。

这是因为，如果设(a,b)是y=f(x)的图像上任意一点，即b=f(a)。根据反函数的定义，有a=f-1(b)，即点(b,a)在反函数y=f-1(x)的图像上。而点(a,b)和(b,a)关于直线y=x对称，由(a,b)的任意性可知f和f-1关于y=x对称。

于是我们可以知道，如果两个函数的图像关于y=x对称，那么这两个函数互为反函数。这也可以看做是反函数的一个几何定义。

在微积分里，f?(n)(x)是用来指f的n次微分的。

若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。