线性规则的简史

非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。1951年H.W.库恩和A.W.塔克发表的关于最优性条件(后来称为库恩－塔克条件)的论文是非线性规划正式诞生的一个重要标志。在50年代还得出了可分离规划和二次规划的n种解法,它们大都是以G.B.丹齐克提出的解线性规划的单纯形法为基础的。50年代末到60年代末出现了许多解非线性规划问题的有效的算法，70年代又得到进一步的发展。非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。

数学模型对实际规划问题作定量分析，必须建立数学模型。建立数学模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系,称之为目标函数。然后将各种限制条件加以抽象,得出决策变量应满足的一些等式或不等式，称之为约束条件。非线性规划问题的一般数学模型可表述为求未知量x1，x2，…，xn，使满足约束条件：

gi(x1，…，xn)≥0　i=1,…,m

hj(x1，…，xn)=0　j=1,…,p

并使目标函数f(x1，…,xn)达到最小值(或最大值)。其中f，诸gi和诸hj都是定义在n维向量空间Rn的某子集D(定义域)上的实值函数,且至少有一个是非线性函数。

上述模型可简记为：

min f(x)

s.t. gi(x)≥0　i=1,…,m

hj(x)=0 j=1,…,p

其中x=(x1，…,xn)属于定义域D，符号min表示“求最小值”，符号s.t.表示“受约束于”。

定义域D 中满足约束条件的点称为问题的可行解。全体可行解所成的集合称为问题的可行集。对于一个可行解x*,如果存在x*的一个邻域，使目标函数在x*处的值f(x*)优于 (指不大于或不小于)该邻域中任何其他可行解处的函数值，则称x*为问题的局部最优解（简称局部解）。如果f(x*)优于一切可行解处的目标函数值,则称x*为问题的整体最优解（简称整体解）。实用非线性规划问题要求整体解，而现有解法大多只是求出局部解。