2p2p

（1）当n=1时，a1=1；

当n≥2，n∈N*时，a1+a2++an-1=（n-1）2，

所以an=n2-（n-1）2=2n-1；

综上所述，an=2n-1（n∈N*）．（3分）

（2）当k=1时，若存在p，r使

因为p≥2，所以ar＜0，与数列an为正数相矛盾，因此，当k=1时不存在；（5分）

当k≥2时，设ak=x，ap=y，ar=z，则

令y=2x-1，得z=xy=x（2x-1），此时ak=x=2k-1，ap=y=2x-1=2（2k-1）-1，

所以p=2k-1，ar=z=（2k-1）（4k-3）=2（4k2-5k+2）-1，所以r=4k2-5k+2；

综上所述，当k=1时，不存在p，r；

当k≥2时，存在p=2k-1，r=4k2-5k+2满足题设．（10分）

（3）作如下构造：an1＝(2k+3)2，an2＝(2k+3)(2k+5)，?an3＝(2k+5)2，其中k∈N*，

它们依次为数列an中的第2k2+6k+5项，第2k2+8k+8项，第2k2+10k+13项，（12分）

显然它们成等比数列，且an1＜an2＜an3，an1+an2＞an3，所以它们能组成三角形．

由k∈N*的任意性，这样的三角形有无穷多个．（14分）

下面用反证法证明其中任意两个三角形A1B1C1和A2B2C2不相似：

若三角形A1B1C1和A2B2C2相似，且k1≠k2，则

整理得