海伦公式的证明方法是什么
海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△abc中，a、b、c分别为角a、b、c的对边，ha为a边上的高，r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径，p
=
(a
b
c),则
s△abc
=
aha=
ab×sinc
=
r
p
=
2r2sinasinbsinc
=
=
其中，s△abc
=
就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、
海伦公式的变形
s=
=
①
=
②
=
③
=
④
=
⑤
二、
海伦公式的证明
证一
勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式s△abc
=
aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥bc，根据勾股定理，得:
x
=
y
=
ha
=
=
=
∴
s△abc
=
aha=
a×
=
此时s△abc为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△abc边bc上任取一点d，
若bd=u，dc=v,ad=t.则
t
2
=
证明：由证一可知，u
=
v
=
∴
ha
2
=
t
2
=
－
∴
s△abc
=
aha
=
a
×
=
此时为s△abc的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形②
s
=
可知，运用余弦定理
c2
=
a2
b2
－2abcosc
对其进行证明。
证明：要证明s
=
则要证s
=
=
=
ab×sinc
此时s
=
ab×sinc为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用s△abc
=r
p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠a
∠b
∠c
=180○那么
tg
·
tg
tg
·
tg
tg
·
tg
=
1
证明：如图，tg
=
①
tg
=
②
tg
=
③
根据恒等式，得：
=
①②③代入，得：
∴r2(x
y
z)
=
xyz
④
如图可知：a＋b－c
=
(x
z)＋(x
y)－(z
y)
=
2x
∴x
=
同理：y
=
z
=
代入
④，得：
r
2
·
=
两边同乘以
，得：
r
2
·
=
两边开方，得：
r
·
=
左边r
·
=
r·p=
s△abc
右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg
=
tg
=
tg
=
证明：根据tg
=
=
∴r
=
×
y
①
同理r
=
×
z
②
r
=
×
x
③
①×②×③,得：
r3
=
×xyz
∵由证一，x
=
=
－c
=
p－c
y
=
=
－a
=
p－a
z
=
=
－b
=
p－b
∴
r3
=
∴
r
=
∴s△abc
=
r·p
=
故得证。
三、
海伦公式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形abcd中，设p=
,则s四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长da，cb交于点e。
设ea
=
e
eb
=
f
∵∠1
∠2
=180○
∠2
∠3
=180○
∴∠1
=∠3
∴△eab～△ecd
∴
=
=
=
解得：
e
=
①
f
=
②
由于s四边形abcd
=
s△eab
将①，②跟b
=
代入公式变形④，得：
∴s四边形abcd
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
所以，海伦公式的推广得证。
四、
海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。
例题：如图，四边形abcd内接于圆o中，sabcd
=
,ad
=
1,ab
=
1,
cd
=
2.
求：四边形可能为等腰梯形。
解：设bc
=
x
由海伦公式的推广，得：
=
(4－x)(2＋x)2
=27
x4－12x2－16x＋27
=
0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)
=
0
(x－1)(x3＋x2－11x－27)
=
0
x
=
1或x3＋x2－11x－27
=
0
当x
=
1时，ad
=
bc
=
1
∴
四边形可能为等腰梯形。