什么是正定矩阵

正定矩阵是一种方阵,它的元素满足以下条件:对于所有的非零向量x和y,都有xTy>0,其中xTy表示矩阵与向量x的乘积所得的向量的内积。也就是说,对于任何一组不全为零的向量x和y,它们的内积都为正。

正定矩阵在合同变换下可化为标准型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。正定矩阵一定是非奇异的，且任一主子矩阵也是正定矩阵。

任意一个向量x，跟他垂直的超平面把空间分成两部分，一部分和x在同一侧，即满足和x的内积为正的那侧，一部分在异侧，内积为负。由定义，正定的线性变换把任意一个向量x都变到x的同侧。

如果它有实特征值，必定是正数，否则的话它会把这特征向量变到另侧。一个线性变换把一组幺正基e1，en变到另一组向量v1，vn，这n个新向量的端点和原点一起构成一个多面体。这多面体的体积就是线性变换的行列式。对正定变换来说，其行列式为正，所以这个多面体非退化，且v1，vn确定的定向和e1，en确定的定向相同。

补充

不会保持形状不变。保持不变的必须是等距，就是说，必须是正交变换O（n）。正定变换一般最常见的情况是正定对称变换。正定对称变换最常见的情况是用来定义内积。即定义＜x，y＞＝xAy为x，y的内积。

正定矩阵有以下性质

（1）正定矩阵的行列式恒为正。

（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同。

（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵。

（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵。

（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

判定的方法

根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：

（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

（2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。