北大08自主招生数学的一道不等式题

证明：记

f(x)

=

(x-a1)(x-a2)(x-a3),

g(x)

=

(x-b1)(x-b2)(x-b3)

由题设易知

f(x)

-

g(x)

=

b1b2b3

-

a1a2a3

=

d

(记为d)

记

a

=

min{a1,a2,a3},

b

=

min{b1,b2,b3},

A

=

max{a1,a2,a3},

B

=

max{b1,b2,b3}

有

f(a)

=

0,

由

a≤b

易知

g(a)

=

(a-b1)(a-b2)(a-b3)

≤

0

从而有

d

=

f(a)-g(a)

≥

0

因为g(x)在x≥B时是个单调递增函数，而g(B)=0，从而有

g(x)

>

0,

任意

x>

B

因此x>B时，f(x)

=

g(x)+d

>

0

而f(A)

=

0，所以A不可能大于B，因此

A≤

B。

证毕。