f(x)是域F上的首一不可约多项式，域的特征Char F = 0,设E是包含F的代数封闭域，由于f(x)在域F上不可约，

一般的《代数数论》的教科书上应该都能够找到。比如冯克勤、刘凤梅《代数数论简明讲义》第15页。

大致说明如下;

f(x)有重根 <=> f与f'不互素（即有次数大于0的公因式）

f'为f的形式导数（这样可以避免引入极限的概念，省去很多讨论）。

当char F =0时，f不可约 => f'≠0 （f的次数至少为2，导函数不会恒为0），

由于f不可约，deg f' <deg f，故f, f'互素（若不然，设(f, f')=g，f'≠0，g|f'，则0<deg g≤deg f' < deg f，故deg g<deg f，因为g|f，g是f的一个真因子，这与f不可约矛盾），于是f无重根。

当char F ≠0时，f不可约 ≠> f'≠0 ，

这样当f'=0时，f与f'不互素（f|f'，公因子为f），f有重根。

“f不可约 ≠> f'≠0 ”解释如下，

设p = char F>0，f(x)=∑c_i * x^i (i=0 .. n)，则f'(x)=∑i*c_i * x^i (i=1 .. n)，

当p不能整除i时，令c_i=0；p|i时，i=0；故总有i*c_i=0。即有f≠0，但f'=0。

具体例子如下：

设F=F_p=Z/(pZ)，p=char F，u是F上的超越元，K=F(u)为F的单扩域（次数无穷大），则f(x)=x^p-u∈K[x]，取f(x)的一个根α=u^(1/p)，（α当然不在F、K中，在K的代数封闭扩域中），则f(x)=x^p-u=x^p-α^p=(x-α)^p有p重根α，（在F_p的扩域上有(a+b)^p=a^p+b^p），但是f(x)在K[x]上不可约。

（若f(x)在K[x]上可约，即f(x)=g(x)*h(x)，g(x)、h(x)∈K[x]，设g(x)=(x-α)^l，h(x)=(x-α)^s，1≤l,s≤p-1，l+s=p。但是g(x)的常数项为(-α)^l=(-1)^l*α^l=(-1)^l*u^(l/p)，1≤l≤p-1，l/p不是整数，由K的定义，u^(l/p)不在K中，于是g(x)不在K[x]中，这与g(x)∈K[x]矛盾）