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正四面体?arccos(1/3)?=?70°32′

正六面体（正方形）?90°

正八面体?arccos(-1/3)=109°28′

正十二面体?arccos(-根号5/5)=116°34′

正二十面体?arccos(-根号5/3)=138°11′

参考如下网址（请将其中*删去），在其中查询“正多面体”词条，有更多关于正多面体的有关数据

z*h.w*i*k*i*p*e*d*i*a.o*r*g

正多面体，或称柏拉图立体，?指各面都是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都是一样的凸多面体。

命名由来

正多面体的别称柏拉图立体是因柏拉图而命名的。柏拉图的朋友特埃特图斯告诉柏拉图这些立体，柏拉图便将这些立体写在《提玛友斯》内。正多面体的作法收录《几何原本》的第13卷。在命题13描述正四面体的作法，命题14就是正八面体，命题15为立方体，命题16是正二十面体，命题17是正十二面体。

判断依据

判断正多面体的依据有三条

1.?正多面体的面由正多边形构成

2.?正多面体的各个顶角相等

3.?正多面体的各条楞边都相等

这三个条件都必须同时满足，否则就不是正多面体，比如五角十二面体，虽然和正十二面体一样是由十二个五角形围成的，但是由于它的各个顶角并不等价因此不是正多面体。

正多面体具有很高的对称形，每个正多面体是相似多面体所属点群中对称性最高的，对正多面体加以变化就会导致对称性下降，如正十二面体属于Ih点群，当它变化为五角十二面体的时候对称性也随之下降为Td群。

存在的正多面体

正多面体***有五个，均由古希腊人发现

（几何数据见图）

用途

因为正多面体的形状的骰子会较公平，所以正多面体骰子经常出现于角色扮演游戏。

正四面体、立方体和正八面体，亦会自然出现于结晶体的结构。

正多面体经过削角操作可以得到其他对称性类似的结构，比如著名的球状分子碳六十空间结构就是正十二面体经过削角操作得到的，因此可以知道，碳六十分子所属的对称性群也是与正十二面体相同的Ih群

由于正多面体和由正多面体衍生的削角正多面体大多有很好的空间堆积性质，即可以在空间中紧密堆积，因此常常选择正多面体形或者削角正多面体形的盒子作为分子模拟计算的周期边界条件

除了上面提到的正十二面体，还有一种由正三角形构成的多面体——五角十二面体，五角十二面体是黄铁矿的一种可能的晶体结构，尽管五角十二面体也是由正三角形构成的，但是他并不是柏拉图体，它所属的对称性群也不是正十二面体的Ih群而是与立方体相同的Oh群。

象征意义

柏拉图视四个元素为原子，其形状如正多面体中的其中四个。

*?火的热令人感到尖锐和刺痛，好像小小的正四面体。

*?空气是用正八面体制的，可以粗略感受到，它极细小的结合体十分顺滑。

*?当水放到人的手上，它会自然流出，那它就应该是由很多小球所组成，好像正二十面体。

*?土与其他的元素相异，因为它可以被堆栈，正如立方体。

剩下没有用的正多面体——正十二面体，柏拉图以不清晰的语调写：“神使用正十二面体以整理整个天空旳星座。”（提玛友斯55）柏拉图的学生亚里士多德添加了第五个元素——aithêr?(希腊文:?'Αιθ?ρ、拉丁文:?aether、中文:?以太），并认为天空是用此组成，但他没有将以太和正十二面体连系。

约翰内斯·开普勒依随文艺复兴建立数学对应的传统，将五个正多面体对应五个行星——水星、金星、火星、木星和土星，同时它们本身亦对应了五个经典元素。

外部链接

*?正多面体平面展开图

*?正多面体360度立体环视

*?正多面体只有五种的证明

*?多面体纸制模型?正多面体