格林公式求面积公式

格林公式求面积公式：∮CF·ds=?_AF·?φdA。

设矢量F(x,y)在一封闭曲线C的内部有连续的一阶偏导数，则F在C上的通量等于该矢量的散度对 C所围成的面积A上的积分，即：∮CF·ds=?_AF·?φdA。

其中，ds表示曲线C上的微小弧长元素，?φ表示势函数φ的梯度。

根据格林公式，我们可以求解封闭区域内某矢量的通量，进而计算出该区域的面积。

设平面上有两条互相垂直的线段，分别为AB和CD，其中A(0,0)，B(a,0)，C(0,b)和D(a,b)。现在我们要求线段AB和CD围成的矩形区域的面积。

首先，我们可以计算矢量F，表示从点A到点B的向量，即F=(a,0)。然后计算F在曲线AB上的通量：

∮CF·ds=?_AF·?φdA。由于φ=0常数，?φ=(0,0)。则∮ABF·ds=?_A(a,0)·(0,0)dA=?_Aady= ∫_0^ada=a^2。

同样，我们可以计算矢量F在曲线CD上的通量：

∮CF·ds=?_AF·?φdA。此时，φ=0（常数），?φ=(0,0)，则

∮CDF·ds=?_A(a,0)·(0,0)dA=?_Aady=∫_0^bdb=b^2

根据格林公式，矩形区域的面积A等于曲线AB和CD上通量之和，即：A=∮ABF·ds+∮CDF·ds=a^2+b^2

通过格林公式，我们成功地求解了矩形区域的面积。此外，格林公式还可以应用于其他形状的封闭区域，只需根据区域的形状和边界条件，选择合适的势函数φ，并计算其梯度?φ即可。